Question

【題目】已知，如圖，AB是⊙O的直徑，點C為⊙O上一點，OF⊥BC于點F，交⊙O于點E，AE與BC交于點H，點D為OE的延長線上一點，且∠ODB=∠AEC．
（1）求證：BD是⊙O的切線；
（2）求證：CE2=EHEA；
（3）若⊙O的半徑為 ，sinA= ，求BH的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖1中，

∵∠ODB=∠AEC，∠AEC=∠ABC，

∴∠ODB=∠ABC，

∵OF⊥BC，

∴∠BFD=90°，

∴∠ODB+∠DBF=90°，

∴∠ABC+∠DBF=90°，

即∠OBD=90°，

∴BD⊥OB，

∴BD是⊙O的切線；

（2）證明：連接AC，如圖2所示：

∵OF⊥BC，

∴ = ，

∴∠CAE=∠ECB，

∵∠CEA=∠HEC，

∴△CEH∽△AEC，

∴ = ，

∴CE2=EHEA；

（3）解：連接BE，如圖3所示：

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠AEB=90°，

∵⊙O的半徑為 ，sin∠BAE= ，

∴AB=5，BE=ABsin∠BAE=5× =3，

∴EA= =4，

∵ = ，

∴BE=CE=3，

∵CE2=EHEA，

∴EH= ，

∴在Rt△BEH中，BH= = =

【解析】（1）如圖1中，欲證明BD是切線，只要證明AB⊥BD即可；（2）連接AC，如圖2所示，欲證明CE2=EHEA，只要證明△CEH∽△AEC即可；（3）連接BE，如圖3所示，由CE2=EHEA，可得EH= ，在Rt△BEH中，根據BH= ，計算即可；