Question

【題目】（8分）如圖，AC是⊙O的直徑，OB是⊙O的半徑，PA切⊙O于點A，PB與AC的延長線交于點M，∠COB=∠APB．

（1）求證：PB是⊙O的切線；

（2）當OB=3，PA=6時，求MB，MC的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見試題解析；（2）MB=4，MC=2．

【解析】

試題（1）由切線的性質，得到∠MAP=90°，由直角三角形的性質，得到∠P+M=90°，由余角的性質，得到∠M+∠MOB=90°，可得∠MOB=90°，根據切線的判定，可得答案；

（2）根據△OBM∽△APM，可得，根據解方程組，可得答案．

試題解析：（1）∵PA切⊙O于點A，∴∠MAP=90°，∴∠P+M=90°．∵∠COB=∠APB，∴∠M+∠MOB=90°，∴∠MOB=90°，即OB⊥PB，∵PB經過直徑的外端點，∴PB是⊙O的切線；

（2）∵∠COB=∠APB，∠OBM=∠PAM，∴△OBM∽△APM，∴，∴ ①， ②，解得MB=4，MC=2，∴當OB=3，PA=6時，MB=4，MC=2．