Question

【題目】探究與發現：如圖1所示的圖形，像我們常見的學習用品—圓規．我們不妨把這樣圖形叫做“規形圖”．

（1）觀察“規形圖”，試探究與、、之間的關系，并說明理由；

（2）請你直接利用以上結論，解決以下三個問題：

①如圖2，把一塊三角尺放置在上，使三角尺的兩條直角邊、恰好經過點、，，則________________；

②如圖3，平分，平分，若，，求的度數；

③如圖4，，的等分線相交于點，，，，若，，求的度數．

Answer 1

【答案】（1）∠BDC=∠A+∠B+∠C；詳見解析（2）①50°②85°③50°

【解析】

（1）首先連接AD并延長，然后根據外角的性質，即可判斷出∠BDC=∠A+∠B+∠C．
（2）①由（1）可得∠ABX+∠ACX+∠A=∠BXC，然后根據∠A=40°，∠BXC=90°，即可求出∠ABX+∠ACX的值．
②由（1）可得∠DBE=∠DAE+∠ADB+∠AEB，再根據∠DAE=40°，∠DBE=130°，求出∠ADB+∠AEB的值；然后根據∠DCE=（∠ADB+∠AEB）+∠DAE，即可求出∠DCE的度數．

③設，結合已知可得，，再根據（1）可得，，即可判斷出∠A的度數．

解：（1）∠BDC=∠A+∠B+∠C，理由如下：

如圖（1），連接AD并延長．

圖1

根據外角的性質，可得∠BDF=∠BAD+∠B，∠CDF=∠C+∠CAD，

又∵∠BDC=∠BDF+∠CDF，∠BAC=∠BAD+∠CAD，

∴∠BDC=∠A+∠B+∠C；

（2）①由（1）可得∠ABX+∠ACX+∠A=∠BXC，

∵∠A=40°，∠BXC=90°，

∴∠ABX+∠ACX=90°-40°=50°，

故答案為50°；

②由（1）可得∠DBE=∠DAE+∠ADB+∠AEB，

∴∠ADB+∠AEB=∠DBE-∠DAE=130°-40°=90°，

∴（∠ADB+∠AEB）=90°÷2=45°，

∴∠DCE=（∠ADB+∠AEB）+∠DAE

=45°+40°=85°；

③設，．

則，，

則，

解得

所以

即的度數為50°．