Question

【題目】已知△ABC中，AC=6cm，BC=8cm，AB=10cm， CD為AB邊上的高．動點P從點A出發，沿著△ABC的三條邊逆時針走一圈回到A點，速度為2cm/s，設運動時間為ts.

(1) 求CD的長；

(2) t為何值時，△ACP為等腰三角形？

(3) 若M為BC上一動點，N為AB上一動點，是否存在M，N使得AM+MN的值最小，如果有請尺規作出圖形（不必求最小值），如果沒有請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）4.8;(2) 6、8.4、9、9.5;(3)存在，具體作法見解析

【解析】試題分析：（1）根據勾股定理的逆定理判斷△ABC是直角三角形，根據三角形的面積公式計算；
（2）分點P在BC上和P在AB上兩種情況，根據等腰三角形的判定定理計算；
（3）根據軸對稱-最短路徑的作法作圖即可．

試題解析：

（1）∵AC2+BC2=36+64=100，AB2=100，

∴AC2+BC2=AB2，

∴△ABC是直角三角形，

∴×AC×BC=×AB×CD，

解得，CD=4.8cm；

（2）當點P在BC上，CA=CP時，CP=6，

則t=12÷2=6s，

當點P在AB上，CA=CP時，

在Rt△ADC中，AD==3.6，

如圖，

∵CA=CP，CD為AB邊上的高，

∴DP=AP=3.6，

則t=（24﹣7.2）÷2=8.4，

當AC=AP時，t=（24﹣6）÷2=9，

當PA=PC時，

如圖，作PH⊥AC于H，

則AH=CH=3，HP=BC=5，

由勾股定理得，AP=5，

則t=（24﹣5）÷2=9.5，

故當t=6、8.4、9、9.5時，△ACP為等腰三角形；

（3）如圖，作A點關于BC的對稱點A′，過A′作AB的垂線A′N，垂足為N，交BC于M點，M、N即為所求．