Question

請先閱讀下面的解題過程，再完成后面的問題．
已知方程x²+3x+1=0的兩個實數根為α，β，求

α β

+

β α

的值．
解：因為△=3²-4×1=5＞0，所以α≠β．…①
由根與系數的關系，得α+β=-3，αβ=1．…．②
所以

α β

+

β α

=

α

β

+

β

α

=

α+β

αβ

=

-3

1

=-3．…③
上面的解題過程是否正確？若不正確，指出錯在哪一步，并寫出正確的解題過程．

Answer 1

分析：根據根與系數的關系得到α+β=-3＜0，αβ=1＞0，則α＜0，β＜0，再利用二次根式的性質化簡得到原式=

αβ β2

+

αβ α2

=-

αβ

β

-

αβ

α

=-

αβ

•

α+β

αβ

，然后利用整體代入的方法計算．

解答：解：上面的解題過程不正確，出錯在第③步．
正確解法為：因為△=3²-4×1=5＞0，所以α≠β，
由根與系數的關系，得α+β=-3＜0，αβ=1＞0，
所以α＜0，β＜0，
所以原式=

αβ β2

+

αβ α2

=-

αβ

β

-

αβ

α

=-

αβ

•

α+β

αβ

=-

1

•

-3

1

=3．

點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根與系數的關系：x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根時，x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

．也考查了二次根式的性質．