Question

【題目】如圖，DABC中，AB=BC=AC=12cm，現有兩點M，N分別從現有兩點M、N分別從點A、點B同時出發，沿三角形的邊運動，已知點M的速度為1cm/s，點N的速度為2cm/s．當點N第一次到達B點時，M、N同時停止運動．

（1）點M、N運動幾秒后，M、N兩點重合？
（2）點M、N運動幾秒后，可得到等邊三角形△AMN？
（3）當點M、N在BC邊上運動時，能否得到以MN為底邊的等腰三角形？如存在，請求出此時M、N運動的時間．

Answer 1

【答案】
（1）解：設點M、N運動x秒后，M、N兩點重合，
x×1+12=2x，解得：x=12
（2）解：設點M、N運動t秒后，可得到等邊三角形△AMN，如圖①，

AM=t×1=t，AN=AB-BN=12-2t，∵三角形△AMN是等邊三角形，∴t=12-2t，
解得t=4，∴點M、N運動4秒后，可得到等邊三角形△AMN
（3）解：當點M、N在BC邊上運動時，可以得到以MN為底邊的等腰三角形，
由（1）知12秒時M、N兩點重合，恰好在C處，
如圖②，

假設△AMN是等腰三角形，∴AN=AM，∴∠AMN=∠ANM，
∴∠AMC=∠ANB，∵AB=BC=AC，∴△ACB是等邊三角形，∴∠C=∠B，
在△ACM和△ABN中，
∵ ，∴△ACM≌△ABN，∴CM=BN，
設當點M、N在BC邊上運動時，M、N運動的時間y秒時，△AMN是等腰三角形，
∴CM=y-12，NB=36-2y，CM=NB，y-12=36-2y，解得：y=16．故假設成立．
∴當點M、N在BC邊上運動時，能得到以MN為底邊的等腰三角形，此時M、N運動的時間為16秒
【解析】（1）首先設點M、N運動x秒后，M、N兩點重合，表示出M，N的運動路程，根據N的運動路程=M的運動路程+12，列出方程求解即可。
（2）根據題意設點M、N運動t秒后，要得到等邊三角形△AMN，由于∠A等于60°，只需AM=AN，然后用含t的代數式表示出AM，AN的長，所以根據AM=AN建立方程求解即可。
（3）首先假設△AMN是等腰三角形，可證出△ACM≌△ABN，可得CM=BN，設出運動時間，表示出CM，NB，NM的長，根據CM=NB列出方程，可解出未知數的值即可。