Question

【題目】結(jié)果如此巧合！

下面是小穎對(duì)一道題目的解答.

題目：如圖，的內(nèi)切圓與斜邊相切于點(diǎn)，，，求的面積.

解：設(shè)的內(nèi)切圓分別與、相切于點(diǎn)、，的長(zhǎng)為.

根據(jù)切線長(zhǎng)定理，得，，.

根據(jù)勾股定理，得.

整理，得.

所以

.

小穎發(fā)現(xiàn)恰好就是，即的面積等于與的積.這僅僅是巧合嗎?

請(qǐng)你幫她完成下面的探索.

已知：的內(nèi)切圓與相切于點(diǎn)，，.

可以一般化嗎？

（1）若，求證：的面積等于.

倒過(guò)來(lái)思考呢？

（2）若，求證.改變一下條件……

（3）若，用、表示的面積.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.（3）.

【解析】（1）設(shè)的內(nèi)切圓分別與、相切于點(diǎn)、，的長(zhǎng)為,仿照例題利用勾股定理得再根據(jù)即可得到=mn.

（2）由，得, 因此=,利用勾股定理的逆定理可得.

（3）過(guò)點(diǎn)作，垂足為,在中，，.所以, 在中根據(jù)勾股定理得,由此.

設(shè)的內(nèi)切圓分別與、相切于點(diǎn)、，的長(zhǎng)為.

根據(jù)切線長(zhǎng)定理，得，，.

（1）如圖①，在中，根據(jù)勾股定理，得.

整理，得.

所以

.

（2）由，得.

整理，得.

所以

.

根據(jù)勾股定理的逆定理，得.

（3）如圖②，過(guò)點(diǎn)作，垂足為.

在中，，.

所以.

在中，根據(jù)勾股定理，得

.

整理，得.

所以

.