Question

已知：如圖，⊙O₁和⊙O₂外切于點A，直線BD切⊙O₁于點B，交⊙O₂于點C、D，直線DA交⊙O₁于點E．
（1）求證：∠BAC=∠ABC+∠D；
（2）求證：AB²=AC•AE．

Answer 1

分析：（1）過A點作⊙O₁和⊙O₂的公切線AM，利用弦切角定理可得∠MAC=∠D，又MA、MB都是⊙O₁的切線，就有MA=MB，故∠ABC=∠BAM，等量代換可證；
（2）連接BE，利用弦切角定理，可得∠E=∠ABC，利用三角形外角性質、結合（1）的結論可證∠EAB=∠BAC，那么可證△ABE∽△ACB，可得比例線段，從而得證．

解答：證明：（1）過A點作⊙O₁和⊙O₂的公切線AM，（1分）
則∠MAC=∠D，
∵CB是⊙O₁的切線，
∴∠ABC=∠BAM，
∴∠BAC=∠BAM+∠MAC=∠ABC+∠D；（4分）

（2）連接BE，（5分）
則∠E=∠ABC，
又∵∠EAB=∠ABD+∠D=∠BAC，
∴△ABE∽△ACB，
∴

AE

AB

=

AB

AC

，
即AB²=AC•AE． （8分）

點評：本題關鍵是作兩圓的公切線；主要利用了弦切角定理、相似三角形的判定和性質等知識．