Question

【題目】如圖，在中，點是邊上一個動點，過點作直線，設交的平分線于點，交的外角平分線于點．

（1）探究與的數量關系并加以證明；
（2）當點運動到上的什么位置時，四邊形是矩形，請說明理由；
（3）在（2）的基礎上，滿足什么條件時，四邊形是正方形？為什么？

Answer 1

【答案】（1）OE=OF，理由見解析；（2）當點O運動到AC的中點時，四邊形AECF是矩形．理由見解析；（3）當點O運動到AC的中點時，且△ABC滿足∠ACB為直角的直角三角形時，四邊形AECF是正方形．理由見解析；

【解析】

（1）由平行線的性質和角平分線定義得出∠OEC=∠OCE，∠OFC=∠OCF，根據“等角對等邊”得出OE=OC，OF=OC，即可得出結論；
（2）由（1）得出的OE=OC=OF，點O運動到AC的中點時，則由OE=OC=OF=OA，證出四邊形AECF是平行四邊形，再證出∠ECF=90°即可；
（3）由已知和（2）得到的結論，點O運動到AC的中點時，且△ABC滿足∠ACB為直角的直角三角形時，則推出四邊形AECF是矩形且對角線垂直，得出四邊形AECF是正方形．

（1）OE=OF，理由如下：
∵MN∥BC，
∴∠OEC=∠BCE，∠OFC=∠DCF，
∵CE平分∠BCA，CF平分∠ACD，
∴∠OCE=∠BCE，∠OCF=∠DCF，
∴∠OCE=∠OEC，∠OCF=∠OFC，
∴OE=OC，OF=OC，
∴OE=OF；
（2）解：當點O運動到AC的中點時，四邊形AECF是矩形．
∵當點O運動到AC的中點時，AO=CO，
又EO=FO，
∴四邊形AECF為平行四邊形，
又CE為∠ACB的平分線，CF為∠ACD的平分線，
∴∠BCE=∠ACE，∠ACF=∠DCF，
∴∠BCE+∠ACE+∠ACF+∠DCF=2（∠ACE+∠ACF）=180°，
即∠ECF=90°，
∴四邊形AECF是矩形；
（3）解：當點O運動到AC的中點時，且△ABC滿足∠ACB為直角的直角三角形時，四邊形AECF是正方形．理由如下：
∵由（2）知，當點O運動到AC的中點時，四邊形AECF是矩形，
∵MN∥BC，
當∠ACB=90°，則∠AOF=∠COE=∠COF=∠AOE=90°，
∴AC⊥EF，
∴四邊形AECF是正方形．