Question

已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，以BC為直徑的半圓O與邊AB相交于點D，切線DE⊥AC，垂足為點E．

求證：（1）△ABC是等邊三角形；
（2）．

Answer 1

證明：（1）連結OD得OD∥AC ∴∠BDO=∠A 又由OB＝OD得∠OBD＝∠ODB
∴∠OBD=∠A  ∴BC＝AC  又∵AB="AC" ∴△ABC是等邊三角形
(2)連結CD，則CD⊥AB ∴D是AB中點
∵AE＝AD=AB    ∴EC=3AE   ∴．

（1）連接OD，根據切線的性質得到OD⊥DE，從而得到平行線，得到∠ODB=∠A，∠ODB=∠B，則∠A=∠B，得到AC=BC，從而證明該三角形是等邊三角形；
（2）再根據在圓內直徑所對的角是直角這一性質，推出30°的直角三角形，根據30°所對的直角邊是斜邊的一半即可證明．