Question

如圖：已知：在?ABCD中，E、F分別是BC、AD的中點．
（1）試分析四邊形AECF是什么四邊形？并證明結論．
（2）當AB⊥AC時，四邊形AECF是什么四邊形？（不需證明）
（3）結合現有圖形，請你添加一個條件，使其與原已知條件共同推出四邊形AECF是矩形．

Answer 1

分析：（1）根據平行四邊形的性質推出AD∥BC，AD=BC，再求出AF=CE，AF∥CE，即可得到答案；
（2）連接EF，易證四邊形ABEF是平行四邊形，得到EF∥AB，推出EF⊥AC，故平行四邊形AECF是菱形；
（3）根據矩形的判定即可推出答案．

解答：解：（1）四邊形AECF是平行四邊形．理由如下：
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∵E、F分別是BC、AD的中點，
∴AF=

1

2

AD，CE=

1

2

BC，
∴AF=CE，AF∥CE，
∴四邊形AECF是平行四邊形；

（2）解：當AB⊥AC時，四邊形AECF是菱形．
理由是：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∵E、F分別是BC、AD的中點，
∴AF=

1

2

AD，BE=

1

2

BC，
∴AF=BE，AF∥BE，
∴四邊形AFEB是平行四邊形，
∴AB∥EF，
∵AB⊥AC，
∴EF⊥AC，
∵由（1）知：四邊形AECF是平行四邊形，
∴平行四邊形AECF是菱形（對角線互相垂直的平行四邊形是菱形）；

（3）添加的條件是∠AEC=90°．
理由是：∵四邊形AECF是平行四邊形，∠AEC=90°，
∴平行四邊形AECF是矩形．

點評：本題主要考查對平行四邊形的性質和判定，矩形的判定，菱形的判定等知識點的理解和掌握，能根據已知條件推出四邊形AECF是平行四邊形是解此題的關鍵．