Question

【題目】如圖，⊙O的圓心在坐標原點，半徑為2，直線y=x+b（b＞0）與⊙O交于A、B兩點，點O關于直線y=x+b的對稱點O′．
（1）求證：四邊形OAO′B是菱形；
（2）當點O′落在⊙O上時，求b的值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OO′，

∵點O關于直線y=x+b的對稱點為O′，

∴直線y=x+b是線段OO′的垂直平分線，

∴AO=AO′，BO=BO′，

又∵OA，OB是⊙O的半徑，

∴OA=OB，

∴AO=AO′=BO=BO′，

∴四邊形OAO′B是菱形

（2）解：如圖，菱形OAO′B的對角線交點為點M，

當點O′落在圓上時，

∵OM= OO′=1，

∵設直線y=x+b與x軸、y軸的交點坐標分別是N（﹣b，0），P（0，b），

∴△ONP為等腰直角三角形，

∴∠ONP=45°，

∵四邊形OAO′B是菱形，

∴OM⊥PN，

∵∠ONP=45°=∠OPN，

∴OM=PM=MN=1，

在Rt△POM中，由勾股定理得：OP= ，

即b= ．

【解析】（1）根據軸對稱得出直線y=x+b是線段OO′的垂直平分線，推出AO=AO′，BO=BO′，求出AO=AO′=BO=BO′，即可推出答案；（2）設直線y=x+b與x軸、y軸的交點坐標分別是N（﹣b，0），P（0，b），得出等腰直角三角形ONP，求出OM⊥NP，求出MP=OM=1，根據勾股定理求出即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解等腰直角三角形的相關知識，掌握等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°，以及對勾股定理的概念的理解，了解直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2．