Question

【題目】（1）問題發現

如圖1，四邊形ABCD為矩形，AB=a，BC=b，點P在矩形ABCD的對角線AC上，Rt△PEF的兩條直角邊PE，PF分別交BC，DC于點M，N，當PM⊥BC，PN⊥CD時， =　 　（用含a，b的代數式表示）．

（2）拓展探究

在（1）中，固定點P，使△PEF繞點P旋轉，如圖2，的大小有無變化？請僅就圖2的情形給出證明．

（3）問題解決

如圖3，四邊形ABCD為正方形，AB=BC=a，點P在對角線AC上，M，N分別在BC，CD上，PM⊥PN，當AP=nPC時，（n是正實數），直接寫出四邊形PMCN的面積是　 　（用含n，a的代數式表示）

Answer 1

【答案】(1);(2)見解析;(3)

【解析】分析：（1）先判斷出△PMC∽△ABC，得出，再判斷出四邊形CNPM是矩形，即可得出結論；
（2）先過P作PG⊥BC于G，作PH⊥CD于H，判定△PGM∽△PHN，再根據相似三角形的性質以及平行線分線段成比例定理進行推導計算即可；
（3）先判定△PMC∽△ABC，再根據相似三角形的對應邊成比例進行求解，再計算其面積；

詳解：

（1）∵四邊形ABCD是矩形，

∴AB⊥BC，

∵PM⊥BC，

∴△PMC∽△ABC

∴

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠BCD=90°，

∵PM⊥BC，PN⊥CD，

∴∠PMC=∠PNC=90°=∠BCD，

∴四邊形CNPM是矩形，

∴CM=PN，

∴，

故答案為；

（2）如圖3，過P作PG⊥BC于G，作PH⊥CD于H，則∠PGM=∠PHN=90°，∠GPH=90°

∵Rt△PEF中，∠FPE=90°

∴∠GPM=∠HPN

∴△PGM∽△PHN

∴

由PG∥AB，PH∥AD可得，,

∵AB=a，BC=b

∴，即,

∴，

故答案為 ；

（3）∵PM⊥BC，AB⊥BC

∴△PMC∽△ABC

∴

當AP=nPC時（n是正實數），

∴PM=a

∴四邊形PMCN的面積=，

故答案為：．