Question

【題目】如圖，在邊長為6的正方形ABCD中，點P為AB上一動點，連接DB、DP，AE⊥DP于E．

（1）如圖①，若P為AB的中點，則=　 　； =　 　；

（2）如圖②，若時，證明：AC=4BF；

（3）如圖③，若P在BA的延長線上，當=　 　時，．

Answer 1

【答案】（1），；（2）詳見解析；（3）.

【解析】

（1）延長AF交BC于M，證△ABM≌△DAP，得BM=AP，再根據△MBF∽△ADF對應邊成比例列出比例式=，然后再根據正方形的邊長相等，對角線相等進行轉化即可求解；

（2）先根據已知條件求出=，然后同（1）的方法作出輔助線即可進行證明；

（3）同前兩小題的思路，延長CB交AF于點M，然后同（1）的求解思路進行求解計算．

（1）延長AF交BC于M，∴∠BAM+∠AMB=90°．

∵AE⊥DP，∴∠BAM+∠DPA=90°，∴∠AMB=∠DPA．

在△ABM和△DAP中，∵，∴△ABM≌△DAP（AAS），∴AP=BM（全等三角形對應邊相等）．

∵四邊形ABCD是正方形，∴BC∥AD，∴△MBF∽△ADF，∴=．

∵點P是AB的中點，∴AP=BM=AB=AD，∴==，∴==，即=．

又∵AC=BD，∴=．

故答案為：；

（2）∵=，∴==，即=，方法同（1），延長AF交BC于M，則===，∴==，即=．

∵正方形的對角線AC=BD，∴=，∴AC=4BF；

（3）延長CB交AF于點M，方法同（1）可得：==，∴=，∴=，即=．

∵正方形的對角線AC=BD，∴=．

故答案為：．