Question

重慶潼南某一蔬菜種植基地種植的一種蔬菜，它的成本是每千克2元，售價是每千克3元，年銷量為10（萬千克）．多吃綠色蔬菜有利于身體健康，因而綠色蔬菜倍受歡迎，十分暢銷．為了獲得更好的銷量，保證人民的身體健康，基地準備拿出一定的資金作綠色開發，根據經驗，若每年投入綠色開發的資金X（萬元），該種蔬菜的年銷量將是原年銷量的m倍，它們的關系如下表：

x（萬元）		1	2	3	4	…
m	1	1.5	1.8	1.9	1.8	…

（1）試估計并驗證m與x之間的函數類型并求該函數的表達式；
（2）若把利潤看著是銷售總額減去成本費和綠色開發的投入資金，試求年利潤W（萬元）與綠色開發投入的資金x（萬元）的函數關系式；并求投入的資金不低于3萬元，又不超過5萬元時，x取多少時，年利潤最大，求出最大利潤．
（3）基地經調查：若增加種植人員的獎金，從而提高種植積極性，又可使銷量增加，且增加的銷量y（萬千克）與增加種植人員的獎金z（萬元）之間滿足y=-z²+4z，若基地將投入5萬元用于綠色開發和提高種植人員的獎金，應怎樣分配這筆資金才能使年利潤達到17萬元且綠色開發投入大于獎金？．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據題意判斷出函數解析式的形式，再利用待定系數法求二次函數解析式，可求出m與x的二次函數關系式．
（2）根據題意可知S=（3-2）×10m-x=-x²+5x+10；
（3）將m代入（2）中的W=-x²+5x+10，故W=-m²+5m+10；再將（5-m）代入y=-z²+4z，故y=-（5-m）²+4（5-m）=-m²+6m-5，由于單位利潤為1，所以由增加獎金而增加的利潤就是-m²+6m-5，進而求出總利潤W'=（-m²+5m+10）+（-m²+6m-5）-（5-m）=-2m²+12m，即可得出答案．
解答：解：（1）根據不是一次函數（不是線性的），也不是反比例函數（m*x的值不是常數），所以選擇二次函數，
設m與x的函數關系式為m=ax²+bx+c，
由題意得：，
解得：，
∴m與x的函數關系式為：m=-0.1x²+0.6x+1；

（2）∵利潤=銷售總額減去成本費和綠色開發的投入資金，
∴W=（3-2）×10m-x=-x²+5x+10；
當x=-=2.5時，W最大，
∵由于投入的資金不低于 3 萬元，又不超過 5 萬元，所以3≤x≤5，
而a=-1＜0，拋物線開口向下，且取值范圍在頂點右側，W隨x的增大而減小，故最大值在x=3處，
∴當x=3時，W最大為：16萬元；

（3）設用于綠色開發的資金為m萬元，則用于提高獎金的資金為（5-m）萬元，
將m代入（2）中的W=-x²+5x+10，故W=-m²+5m+10；
將（5-m）代入y=-z²+4z，故y=-（5-m）²+4（5-m）=-m²+6m-5，
由于單位利潤為1，所以由增加獎金而增加的利潤就是-m²+6m-5；
所以總利潤W'=（-m²+5m+10）+（-m²+6m-5）-（5-m）=-2m²+12m，
因為要使年利潤達到17萬，所以-2m²+12m=17，
整理得2m²-12m+17=0，
解得：m=≈3.7或m=≈2.3，而綠色開發投入要大于獎金，
所以m=3.7，5-m=1.3．
所以用于綠色開發的資金為3.7萬元，獎金為1.3萬元．
點評：此題主要考查了二次函數的應用，以及待定系數法求二次函數解析式和一元二次方程的解法等知識，根據已知得出由增加獎金而增加的利潤是解題關鍵．