Question

【題目】如果三角形有一邊上的中線長恰好等于這邊的長，那么稱這個三角形為“好玩三角形”．

（1）請用直尺和圓規畫一個“好玩三角形”；
（2）如圖在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA= ，求證：△ABC是“好玩三角形”；
（3）如圖2，已知菱形ABCD的邊長為a，∠ABC=2β，點P，Q從點A同時出發，以相同速度分別沿折線AB﹣BC和AD﹣DC向終點C運動，記點P經過的路程為s．
①當β=45°時，若△APQ是“好玩三角形”，試求 的值；
②當tanβ的取值在什么范圍內，點P，Q在運動過程中，有且只有一個△APQ能成為“好玩三角形”．請直接寫出tanβ的取值范圍．
（4）（本小題為選做題）
依據（3）的條件，提出一個關于“在點P，Q的運動過程中，tanβ的取值范圍與△APQ是‘好玩三角形’的個數關系”的真命題（“好玩三角形”的個數限定不能為1）

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖1，①作一條線段AB，

②作線段AB的中點O，

③以點O為圓心，AB為半徑畫圓，

④在圓O上取一點C，連接AC、BC，

∴△ABC是所求作的三角形（點E、F除外）

（2）

解：如圖2，取AC的中點D，連接BD

∵∠C=90°，tanA= ，

∴

∴設BC= x，則AC=2x，

∵D是AC的中點，

∴CD= AC=x

∴BD= = =2x，

∴AC=BD

∴△ABC是“好玩三角形”

（3）

解：①如圖3，當β=45°，點P在AB上時，

∴∠ABC=2β=90°，

∴△APQ是等腰直角三角形，不可能是“好玩三角形”，

當P在BC上時，連接AC交PQ于點E，延長AB交QP的延長線于點F，

∵PC=CQ，

∴∠CAB=∠ACP，∠AEF=∠CEP，

∴△AEF∽△CEP，

∴ ．

∵PE=CE，

∴ ．

(i)當底邊PQ與它的中線AE相等時，即AE=PQ時，

=2，

∴ ，

(ii)當腰AP與它的中線QM相等，即AP=QM時，

作QN⊥AP于N，如圖4

∴MN=AN= MP．

∴QN= MN，

∴tan∠APQ= ，

∴tan∠APE= = ，

∴ =

②由①可知，當AE=PQ和AP=QM時，有且只有一個△APQ能成為“好玩三角形”，

∴ ＜tanβ＜2時，有且只有一個△APQ能成為“好玩三角形”

（4）

解：由（3）可以知道0＜tanβ＜ ，

則在P、Q的運動過程中，使得△APQ成為“好玩三角形”的個數為2

【解析】（1）先畫一條線段AB，再確定AB的中點O，以點O為圓心，AB為半徑畫圓，在圓O上取一點C，連接AC、BC，則△ABC是所求作的三角形；
（2）取AC的中點D，連接BD，設BC= x，根據條件可以求出AC=2x，由三角函數可以求出BD=2x，從而得出AC=BD，從而得出結論；
（3）①當β=45°時，分情況討論，P點在AB上時，△APQ是等腰直角三角形，不可能是“好玩三角形”，當P在BC上時，延長AB交QP的延長線于點F，可以求出分情況討論，就可以求出 ，再分情況討論就可以求出當AE=PQ時， 的值，當AP=QM時，可以求出 的值；②根據①求出的兩個 的值就可以求出tanβ的取值范圍；
（4）由（3）可以得出0＜tanβ＜ ，△APQ為“好玩三角形”的個數為2就是真命題．