Question

已知：如圖，點P是平行四邊形ABCD的邊DC上一點，且AP和BP分別平分∠DAB和∠CBA．
（1）求證：AP⊥PB；
（2）如果AD=5，AP=8，求△APB的面積．

Answer 1

分析：（1）根據平行四邊形的同旁內角互補，再結合角平分線的定義，可以得到∠PAB+∠PBA=90°，再根據三角形的內角和定理就可證明；
（2）根據角平分線的定義以及兩條直線平行，則內錯角相等．從而證明△ADP和△BCP是等腰三角形．則AB=CD=PD+PC=2AD=10，根據勾股定理得到PB=6，再根據直角三角形的面積等于兩條直角邊的乘積的一半．

解答：（1）證明：∵AP和BP分別平分∠DAB和∠CBA，
∴∠PAB=

1

2

∠DAB，∠PBA=

1

2

∠CBA．
又∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC．
∴∠PAB+∠PBA=90°．
∴∠APB=180°-90°=90°．從而AP⊥PB．

（2）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴BC=AD=5．
又∵AP和BP分別平分∠DAB和∠CBA，
∴∠PAB=∠PAD=∠DPA．
∴DP=AD=5．
同理PC=BC=5．
∴AB=DC=DP+PC=10．
∴在Rt△APB中，應用勾股定理得：BP=

AB2-AP2

=

102-82

=6．
∴△APB的面積是

1

2

AP•BP=

1

2

×8×6=24．

點評：根據平行線的性質結合角平分線的定義，發現兩個等腰三角形ADP和等腰三角形BCP，再根據直角三角形的勾股定理進行計算．