Question

如圖①，△ABC為等邊三角形，周長為p．D₁，E₁，F₁分別是△ABC三邊的中點，連接D₁E₁，E₁F₁，F₁D₁，可得△D₁E₁F₁．
（1）用p表示△D₁E₁F₁的周長是

1

2

p

；
（2）當D₂，E₂，F₂分別是△D₁E₁F₁三邊的中點，如圖②，則△D₂E₂F₂的周長是

1

4

p

；（用含p的式子表示）
（3）按照上述思路探索下去，當D_n，E_n，F_n分別是△D_n-1E_n-1F_n-1三邊的中點時（n為正整數），則D_nE_nF_n的周長是

1

2n

p

．（用含n、p的式子表示）

Answer 1

分析：（1）根據三角形中位線定理易得所求的三角形的各邊長為原三角形各邊長的一半，那么所求的三角形的周長就等于原三角形周長的一半；
（2）由（1）可知則△D₂E₂F₂的周長是△D₁E₁F₁的周長的一半；
（3）按照上述思路探索下去，當D_n，E_n，F_n分別是△D_n-1E_n-1F_n-1三邊的中點時（n為正整數），則D_nE_nF_n的周長是

1

2n

p．

解答：解：（1）解：∵點D₁、E₁、F₁分別是AB、BC、AC的中點，
∴D₁E₁=

1

2

AC，D₁F₁=

1

2

BC，E₁F₁=

1

2

AB，
∴△D₁E₁F₁的周長是

1

2

（AB+BC+AC）=

1

2

p，
故答案為：

1

2

p；

（2）由（1）可知△D₂E₂F₂的周長是△D₁E₁F₁的周長的一半；
即為

1

4

p，
故答案為

1

4

p；

（3）按照上述思路探索下去，每一個新的小三角形都是前一個的

1

2

即

1

2n

p，
故答案為：

1

2n

p．

點評：本題考查了三角形的中位線定理，中位線是三角形中的一條重要線段，由于它的性質與線段的中點及平行線緊密相連，因此，它在幾何圖形的計算及證明中有著廣泛的應用．