Question

為了扶持大學生自主創業，市政府提供了80萬元無息貸款，用于某大學生開辦公司生產并銷售自主研發的一種電子產品，并約定用該公司經營的利潤逐步還無息貸款，已知該產品的生產成本為每件40元，員工每人每月的工資為2500元，公司每月需支付其它費用15萬元．該產品每月銷售量y（萬件）與銷售單價x（元）之間的函數關系如圖所示
（1）當40≤x≤60時，求月銷售量y（萬件）與銷售單價x（元）之間的函數關系式；
（2）當銷售單價定為50元時，為保證公司月利潤達到5萬元（利潤=銷售額-生產成本-員工工資-其它費用），該公司可安排員工多少人？
（3）若該公司有80名員工，求出公司利潤W（萬元）與x（元）之間的函數關系式；并說明該公司最早可在幾個月后還清無息貸款？

Answer 1

分析：（1）從圖中看，40≤x≤60函數經過兩點，使用待定系數法即可求出函數關系式；
（2）利用（1）中的函數關系，當銷售單價定為50元時，可計算出月銷售量，設可安排員工m人，利潤=銷售額一生產成本-員工工資-其它費用，列出方程即可解；
（3）先分情況討論出利潤的最大值，即可求解．

解答：解：（1）當40＜x≤60時，令y=kx+b，
則

40k+b=4 60k+b=2

，
解得

k=- 1 10 b=8

，
∴y=-

1

10

x+8；

（2）設定價50元時，公司可安排員工a人．
由5=（-

1

10

x+8）（x-40）-15-0.25a，
得30-15-0.25a=5，
解得a=40．
所以公司可安排員工40人；

（3）當40＜x≤60時，
利潤w₁=（-

1

10

x+8）（x-40）-15-0.25×80
=-

1

10

（x-60）²+5，
∴當x=60時，w_max=5萬元；
當60＜x＜100時，
w₂=（-

1

20

x+5）（x-40）-15-0.25×80
=-

1

20

（x-70）²+10，
∴x=70時，w_max=10萬元，
∴要盡早還清貸款，只有當單價x=70元時，獲得最大月利潤10萬元，
設該公司n個月后還清貸款，則10n≥80，
∴n≥8，即n=8為所求．

點評：此題主要考查了利用待定系數法求解一次函數關系式，一次函數與一次不等式的應用，是一道綜合性較強的代數應用題，能力要求比較高．