Question

【題目】如圖①，拋物線y＝ax2+bx+c經過點A（﹣2，0）、B（4，0）、C（0，3）三點．

（1）試求拋物線的解析式；

（2）點P是y軸上的一個動點，連接PA，試求5PA+4PC的最小值；

（3）如圖②，若直線l經過點T（﹣4，0），Q為直線l上的動點，當以A、B、Q為頂點所作的直角三角形有且僅有三個時，試求直線l的解析式．

Answer 1

【答案】（1）；（2）5PA+4PC的最小值為18；（3）直線l的解析式為或.

【解析】

（1）設出交點式，代入C點計算即可 （2）連接AC、BC，過點A作AE⊥BC于點E，過點P作PD⊥BC于點D，易證△CDP∽△COB，得到比例式，得到PD=PC，所以5PA+4PC＝5（PA+PC）＝5（PA+PD），當點A、P、D在同一直線上時，5PA+4PC＝5（PA+PD）＝5AE最小，利用等面積法求出AE=，即最小值為18 （3）取AB中點F，以F為圓心、FA的長為半徑畫圓, 當∠BAQ＝90°或∠ABQ＝90°時，即AQ或BQ垂直x軸，所以只要直線l不垂直x軸則一定找到兩個滿足的點Q使∠BAQ＝90°或∠ABQ＝90°，即∠AQB＝90°時，只有一個滿足條件的點Q，∴直線l與⊙F相切于點Q時，滿足∠AQB＝90°的點Q只有一個；此時，連接FQ，過點Q作QG⊥x軸于點G，利用cos∠QFT求出QG，分出情況Q在x軸上方和x軸下方時，分別代入直接l得到解析式即可

解：（1）∵拋物線與x軸交點為A（﹣2，0）、B（4，0）

∴y＝a（x+2）（x﹣4）

把點C（0，3）代入得：﹣8a＝3

∴a＝﹣

∴拋物線解析式為y＝﹣（x+2）（x﹣4）＝﹣x2+x+3

（2）連接AC、BC，過點A作AE⊥BC于點E，過點P作PD⊥BC于點D

∴∠CDP＝∠COB＝90°

∵∠DCP＝∠OCB

∴△CDP∽△COB

∴

∵B（4，0），C（0，3）

∴OB＝4，OC＝3，BC＝=5

∴PD＝PC

∴5PA+4PC＝5（PA+PC）＝5（PA+PD）

∴當點A、P、D在同一直線上時，5PA+4PC＝5（PA+PD）＝5AE最小

∵A（﹣2，0），OC⊥AB，AE⊥BC

∴S△ABC＝ABOC＝BCAE

∴AE＝

∴5AE＝18

∴5PA+4PC的最小值為18．

（3）取AB中點F，以F為圓心、FA的長為半徑畫圓

當∠BAQ＝90°或∠ABQ＝90°時，即AQ或BQ垂直x軸，

∴只要直線l不垂直x軸則一定找到兩個滿足的點Q使∠BAQ＝90°或∠ABQ＝90°

∴∠AQB＝90°時，只有一個滿足條件的點Q

∵當Q在⊙F上運動時（不與A、B重合），∠AQB＝90°

∴直線l與⊙F相切于點Q時，滿足∠AQB＝90°的點Q只有一個

此時，連接FQ，過點Q作QG⊥x軸于點G

∴∠FQT＝90°

∵F為A（﹣2，0）、B（4，0）的中點

∴F（1，0），FQ＝FA＝3

∵T（﹣4，0）

∴TF＝5，cos∠QFT＝

∵Rt△FGQ中，cos∠QFT＝

∴FG＝FQ＝

∴xQ＝1﹣，QG＝

①若點Q在x軸上方，則Q（）

設直線l解析式為：y＝kx+b

∴ 解得：

∴直線l：

②若點Q在x軸下方，則Q（）

∴直線l：

綜上所述，直線l的解析式為或