Question

在直角△ABC中，∠C=90°，直角邊BC與直角坐標系中的x軸重合，其內切圓的圓心坐標為P（0，1），若拋物線y=kx²+2kx+1的頂點為A．求：
（1）求拋物線的對稱軸、頂點坐標和開口方向；
（2）用k表示B點的坐標；
（3）當k取何值時，∠ABC=60°？

Answer 1

分析：（1）對二次函數式進行變形，可得y=k（x+1）²+（1-k），即得頂點坐標A（-1，1-k），對稱軸就是x=-1，又x=0時，y=1，說明函數經過（0，1），也就是二次函數的開口必然向下，即k＜0；
（2）用k的代數式分別表示AC、BC、AB，利用勾股定理可得相等關系，可求出OB，即得B點坐標；
（3）在Rt△ABC中利用∠ABC的正切值，可求出k的值，注意k＜0．

解答：解：（1）∵y=kx²+2kx+1
∴對稱軸x=-1，易見拋物線是以Rt△ABC的直角邊AC所在直線為對稱軸，
由題易得A（-1，1-k），又當x=0時，y=1
即拋物線過p（0，1），
故k＜0開口向下．（4分）

（2）如圖，
AC=1-K  BC=CO+OB=1+OB AB=AD+BD=AE+OB=AC-CE+OB=OB-k
由勾股定理得（1-k）²+（1+OB）²=（OB-k）²?OB=

k-1

k+1

?B(

k-1

k+1

，0)（4分）

（3）∵∠ABC=60°，
∴tan∠ABC=

3

又tan∠ABC=

1-k2

2k

=

3

∴k2+2

3

k-1=0
∴k^=-

3

+2，k2=-

3

-2
又∵k＜0
∴k=-

3

-2．（4分）

點評：本題利用了二次函數的解析式可以變形，勾股定理，以及三角函數，解一元二次方程等知識．