Question

（1）解分式方程：

x

x+1

+6•

x+1

x

-5=0．
（2）已知在同一直角坐標系中，一次函數y=-x+4和反比例函數y=

k

x

（k≠0）的圖象有兩個不同的交點P_l（x₁，y₁）和P₂（x₂，y₂），且x₁²+x₂²+8x₁x₂-x₁²x₂²=0，求k的值．

Answer 1

分析：（1）本題解答時需將

x

x+1

看成整體，然后將分式方程化成一元二次方程，最后再求解；
（2）把y=-x+4代入反比例函數解析式y=

k

x

消去y，得到一個一元二次方程，再根據根與系數的關系代入x₁²+x₂²+8x₁x₂-x₁²x₂²=0，即可求得k的值，最后要檢驗．

解答：解：
（1）設

x

x+1

=y，
則原方程變為y+

6

y

-5=0，即y²-5y+6=0，
解得y₁=2，y₂=3，
則

x

x+1

=2，解得：x=-2，

x

x+1

=3，解得：x=-

3

2

，
經檢驗都是原方程的根，
所以原方程的根為x₁=-2，x₂=-

3

2

；
（2）根據題意可知：由方程y=-x+4和反比例函數y=

k

x

（k≠0）消去y，
得：x²-4x+k=0，
由根與系數的關系可得：x₁+x₂=4，x₁•x₂=k，
則由x₁²+x₂²+8x₁x₂-x₁²x₂²=0，
得（x₁+x₂）²+6x₁•x₂-（x₁•x₂）²=0，即k²-6k-16=0，
解得：k₁=-2，k₂=8，
又∵方程有兩個不同的解，
∴b²-4ac＞0，
∴k＜4，
∴k=-2是本方程的解．

點評：解分式方程的基本思想是“轉化思想”，把分式方程轉化為整式方程求解；分式方程一定注意要驗根；第二題解決的關鍵是利用消元的方法把函數圖象交點坐標的問題轉化為一元二次方程的問題，利用根與系數的關系求解．