Question

（1）如圖，已知△ABC中，O為∠ABC和∠ACB的平分線BO，CO的交點．試猜想∠BOC和∠A的關系，并說明理由；

（2）如圖，若O為∠ABC和∠ACB外角的平分線BO，CO的交點，則∠BOC與∠A的關系又該怎樣？為什么？

Answer 1

解：（1）∠BOC=∠A+90°．
∵如圖，在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
在△BOC中，∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，
∵BO，CO分別是∠ABC和∠ACB的平分線，
∴∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，
∴∠BOC+∠ABC+∠ACB=180°，
又∵在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠BOC=∠A+90°；

（2）∠BOC=∠A．
∵∠A+∠ABC=∠ACE．
∵∠OBC+∠BOC=∠OCE，
∵BO，CO分別是∠ABC和∠ACE的平分線，
∵∠ABC=2∠OBC，∠ACE=2∠OCE，
由以上各式可推得∠BOC=∠A．
分析：根據“三角形的外角等于與其不相鄰的兩內角和”和角平分線性質．
（1）先列出∠A、∠ABC、∠ACB的關系，再列出∠BOC、∠OBC、∠OCB的關系，然后列出∠ABC和∠OBC、∠ACB和∠OCB的關系；
（2）列出∠A、∠ABC、∠ACE的關系，再列出∠OBC、∠O、∠OCE的關系，然后列出∠ABC和∠OBC、∠ACE和∠OCE的關系．
點評：本題涉及角平分線及三角形的內角和定理等知識，難度一般．