Question

【題目】如圖，直線l的解析式為y=﹣x+b，它與坐標軸分別交于A、B兩點，其中點B坐標為（0，4）．

（1）求出A點的坐標；

（2）在第一象限的角平分線上是否存在點Q使得∠QBA=90°？若存在，求點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

（3）動點C從y軸上的點（0，10）出發，以每秒1cm的速度向負半軸運動，求出點C運動所有的時間t，使得△ABC為軸對稱圖形（直接寫答案即可）

Answer 1

【答案】（1）A（3，0）；（2）存在．Q（16，16）；（3）當C點運動1秒、秒、11秒、14秒時，能使△ABC為軸對稱圖形．

【解析】

（1）利用點B代入直線，求出直線解析式，然后求直線與x軸交點坐標；

（2）點Q在第一象限角平分線上，設Q（x，x），已知給出了指定角，利用勾股定理列方程，即可求出點Q的標；

（3）求△ABC為軸對稱圖形，實質是求動點C，使△ABC為等腰三角形，根據等腰三角形性質分類討論即可求出點的坐標，利用點的坐標求出運動時間．

（1）將點B（0，4）代入直線l的解析式得：

b=4，

∴直線l的解析式為：y=﹣x+4，

令y=0得：x=3，

∴A（3，0）．

（2）存在．

∵Q在第一象限的角平分線上，

設Q（x，x），

根據勾股定理：

QB2+BA2=QA2，

x2+（x﹣4）2+52=x2+（x﹣3）2，

解得x=16，

故Q（16，16）．

（3）能使△ABC為軸對稱圖形，

則得：△ABC為等腰三角形，

當AB=BC時，

C（0，9）或（0，﹣1），

此時C點運動1秒或11秒，

當AB=AC時，

C（0，﹣4），

此時C點運動14秒，

當AC=BC時，

C（0，），

此時C點運動 秒．

綜上所述：當C點運動1秒、秒、11秒、14秒時，能使△ABC為軸對稱圖形．