Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝30°，∠ADC＝60°，AD＝DC，連結AC、BD．在四邊形ABCD的外部以BC為一邊作等邊△BCE，連結AE．

（1）求證：BD＝AE；

（2）若AB＝3，BC＝4，求BD的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）AE＝5

【解析】試題分析：（1）由∠ADC=60°，AD=DC，易得△ADC是等邊三角形，又由△BCE是等邊三角形，可證得△BDC≌△EAC（SAS），即可得BD=AE；

（2）由△BCE是等邊三角形，∠ABC=30°，易得∠ABE=90°，然后由勾股定理求得AE的長，即可求得BD的長．

試題解析：（1）∵在△ADC中，AD＝DC，∠ADC＝60°，

∴△ADC是等邊三角形，

∴DC＝AC，∠DCA＝60°，

又∵△BCE是等邊三角形，

∴CB＝CE，∠BCE＝60°，

∴∠DCA+∠ACB＝∠ECB+∠ACB，

即∠DCB＝∠ACE，

∴△BDC≌△EAC（SAS），

∴BD＝AE；

（2）∵△BCE是等邊三角形，

∴BE＝BC＝4，∠CBE＝60°．

∵∠ABC＝30°，

∴∠ABE＝90°．

在Rt△ABE中，AE＝＝=5