Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，點E為AB上的點（不與A，B重合），△ADE與△FDE關于DE對稱，作射線CF，與DE的延長線相交于點G，連接AG，

（1）當∠ADE=15°時，求∠DGC的度數；

（2）若點E在AB上移動，請你判斷∠DGC的度數是否發生變化，若不變化，請證明你的結論；若會發生變化，請說明理由；

（3）如圖2， 當點F落在對角線BD上時，點M為DE的中點，連接AM，FM，請你判斷四邊形AGFM的形狀，并證明你的結論。

Answer 1

【答案】(1) ∠DGC=45°； (2) ∠DGC=45°不會變化； (3) 四邊形AGFM是正方形

【解析】

（1）根據對稱性及正方形性質可得∠CDF=60°=∠DFC，再利用三角形外角∠DFC=∠FDE+∠DPF可求∠DPC度數；

（2）由(1)知△DFC為等腰三角形，得出DF=DC，求出∠DFC=45+∠EDF，由∠DFC=∠DGC+∠EDF可得∠DGC=45；

（3）證明FG=MF=MA=AG，∠AGF=90，即可得出結論.

(1)△FDE與ADE關于DE對稱

∴△FDE≌△ADE

∴∠FDE＝∠ADE＝15，AD=FD

∴∠ADF=2∠FDE=30

∵ABCD為正方形

∴AD=DC=FD，∠ADC=∠DAC=∠DFE=90

∴∠FDC=∠ADC-∠ADF=60

∴△DFC為等邊三角形

∴∠DFC=60

∵∠DFC為△DGF外角

∴∠DFC=∠FDE+∠DGC

∴∠DGC=∠DFC-∠FDE=60-15=45

(2)不變.

證明: 由(1)知△DFC為等腰三角形，DF=DC

∴∠DFC=∠DCF= (180-∠CDF) =90-∠CDF①

∵∠CDF=90-∠ADF=90-2∠EDF②

將②代入①得∠DFC=45+∠EDF

∵∠DFC=∠DGC+∠EDF

∴∠DGC=45

(3)四邊形AMFG為正方形.

證明: ∵M為Rt△ADE中斜邊DE的中點

∴AM＝DE

∵M為Rt△FED中斜邊DE的中點

∴FM=DE=AM=MD

由(1)知△AED≌△FED ∴AD=DF，∠ADG=∠FDG

△ADG與△FDG中，

AD=DF， ∠ADG=∠FDG，DG=DG

∴△ADG≌△FDG，

由(2)知∠DGC=45

∴∠DGA=∠DGF=45，AG=FG， ∠AGF=∠DGA+∠DGF=90

∵DB為正方形對角線，

∴∠ADB=∠45，

∵∠ADG=∠GDF=∠ADB=22.5

∵DM＝FM

∴∠GDF=∠MFD=22.5

∵∠GMF=∠GDF+∠MFD=45

∴∠GMF=∠DGF＝45

∴MF=FG

∴FG=MF=MA=AG，∠AGF=90

∴四邊形AMFG為正方形。