Question

【題目】類比等腰三角形的定義，我們定義：有一組鄰邊相等的凸四邊形叫做等鄰邊四邊形．

（1）如圖1，四邊形ABCD中，AC平分∠BAD，∠B=∠D．求證：四邊形ABCD為等鄰邊四邊形．

（2）如圖2，Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=2，BC=1，將△ABC沿∠ABC的平分線BB′的方向平移，得到△A′B′C′，連接AA′、BC′，若平移后的四邊形ABC′A′是等鄰邊四邊形，且滿足BC′=AB，求平移的距離．

（3）如圖3，在等鄰邊四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD+∠BCD=90°，AC和BD為四邊形對角線，△BCD為等邊三角形，試探究AC和AB的數量關系．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）平移的距離是；（3）AC=AB，理由見解析.

【解析】（1）∵∠BAC=∠DAC ，∠B=∠D，AC=AC

∴△ABC≌△ADC

∴AB=AD

∴四邊形ABCD是等鄰邊四邊形．---------------------3’

（2）如圖，延長C’B’交AB于點D ，

∵△A’B’C’由△ABC平移得到

∴A’B’∥AB，∠ A’B’C’=∠ABC=90°，C’B’=CB=1

∴B’D⊥AB

∵BB’平分∠ABC，

∴∠B’BD=45°，即B’D=BD。

設B’D=BD=，∴C’D=1+，

∵BC’=AB=2，

∴Rt△BDC’中，，

解得=，（不合題意，舍去）

∴等腰Rt △BB’D中，BB’==

（3）AC=AB。

理由：如圖，過A作AE⊥AB，且AE=AB，連接ED，EB

∵AE⊥AB

∴∠EAD+∠BAD=90°

又∵∠BAD+∠BCD=90°，△BCD為等邊三角形

∴∠EAD=∠DCB=60°，

∵AE=AB，AB=AD ∴AE=AD

∴△AED為等邊三角形，

∴AD=ED，∠EDA=∠BDC=60°

∴∠BDE=∠CDA，∵ED=AD，BD=CD

∴△BDE≌△CDA

∴AC=BE

∵AE=BE，∠BAE=90°， ∴BE=AB，

∴AC=AB