Question

【題目】“閱讀素養的培養是構建核心素養的重要基礎，重慶十一中學校以‘大閱讀’特色課程實施為突破口，著力提升學生的核心素養．”全校師生積極響應和配合，開展各種活動豐富其課余生活．在數學興趣小組中，同學們從書上認識了很多有趣的數．其中有一個“和平數”引起了同學們的興趣．描述如下：一個四位數，記千位上和百位上的數字之和為x，十位上和個位上的數字之和為y，如果，那么稱這個四位數為“和平數”．

例如：1423，，，因為，所以1423是“和平數”．

（1）直接寫出：最小的“和平數”是________，最大的“和平數”是__________；

（2）求同時滿足下列條件的所有“和平數”：

①個位上的數字是千位上的數字的兩倍；

②百位上的數字與十位上的數字之和是12的倍數；

（3）將一個“和平數”的個位上與十位上的數字交換位置，同時，將百位上與千位上的數字交換位置，稱交換前后這兩個“和平數”為“相關和平數”．

例如：1423于4132為“相關和平數”

求證：任意的兩個“相關和平數”之和是1111的倍數．

Answer 1

【答案】（1）1001；9999；（2）2754和4848；（3）見解析

【解析】

（1）根據“和平數”的定義可直接得出最小的“和平數”是1001，最大的“和平數”是9999；

（2）設這個“和平數”的千位數字是a，百位數字是m，十位數字是n，其中a，m，n均是正整數且，，，則個位數字是2a，又由得到a的可能取值為1，2，3，4；根據百位上的數字與十位上的數字之和是12的倍數，可知m+n=12，得到，由a的可能取值可得m的取值，即可求得符合條件的“和平數”；

（3）設任意一個“和平數”千位數字為a，百位數字為b，十位數字為c，個位數字為d，則它的“相關和平數”千位數字為b，百位數字為a，十位數字為d，個位數字為c，計算它們的和，根據“和平數”的定義可知a+b=c+d，因式分解可得原式= 1111(a+b)，即可證明．

解：（1）根據“和平數”的定義可得：

最小的“和平數”1001，最大的“和平數”9999，

故答案為1001；9999；

（2）設這個“和平數”的千位數字是a，百位數字是m，十位數字是n，其中a，m，n均是正整數且，，，

則個位數字是2a，

又∵，

∴a的可能取值為1，2，3，4；

∵百位上的數字與十位上的數字之和是12的倍數，

∴m+n=0或m+n=12，

∵“和平數”中a+m=n+2a，

當m+n=0時，即m=n=0，則此時a=0，不符合題意，

∴m+n=12，

∴a+m=12m+2a，解得：，

∵a的可能取值為1，2，3，4；且m為正整數，

∴m的可能取值為7，8；

當a=2時，m=7，這個“和平數”是2754；

當a=4時，m=8，這個“和平數”是4848；

綜上所述，滿足條件的“和平數”是2754和4848；

（3）設任意一個“和平數”千位數字為a，百位數字為b，十位數字為c，個位數字為d，則它的“相關和平數”千位數字為b，百位數字為a，十位數字為d，個位數字為c，

∴

由“和平數”的定義可知：a+b=c+d，

∴原式

，

∵a，b為正整數，則能被1111整除，

即能被1111整除，

∴任意的兩個“相關和平數”之和是1111的倍數．