Question

（1）新人教版初中數學教材中我們學習了：若關于x的一元二次方程ax²+bx+c=0的兩根為x₁，x₂，則x1+x2=-

b

a

，x1•x2=

c

a

．根據這一性質，我們可以求出已知方程關于x₁，x₂的代數式的值．例如：已知x₁，x₂為方程x²-2x-1=0的兩根，則x₁+x₂=

 

，x₁•x₂=

 

．那么x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=

 

．
請你完成以上的填空．
（2）閱讀材料：已知m²-m-1=0，n²+n-1=0，且mn≠1．求

mn+1

n

的值．
解：由n²+n-1=0可知n≠0．
∴1+

1

n

-

1

n2

=0．∴

1

n2

-

1

n

-1=0
又m²-m-1=0，且mn≠1，即m≠

1

n

．
∴m，

1

n

是方程x²-x-1=0的兩根．∴m+

1

n

=1．∴

mn+1

n

=1．
（3）根據閱讀材料所提供的方法及（1）的方法完成下題的解答．
已知2m²-3m-1=0，n²+3n-2=0，且mn≠1．求m2+

1

n2

的值．

Answer 1

分析：（1）根據根與系數的關系可求出x₁+x₂和x₁x₂的值，然后再代值求解即可．
（2）根據（2）的解法可求出m+

1

n

和m•

1

n

的值，然后將m和

1

n

看作一個整體，根據（1）的方法進行化簡；然后再代值求解．

解答：解：（1）2，-1，（2分）6；（4分）
（3）由n²+3n-2=0可知n≠0；
∴1+

3

n

-

2

n2

=0；（5分）
∴

2

n2

-

3

n

-1=0（6分）
又2m²-3m-1=0，且mn≠1，即m≠

1

n

；（7分）
∴m、

1

n

是方程2x²-3x-1=0的兩根，（8分）
∴m+

1

n

=

3

2

，m•

1

n

=-

1

2

；（10分）
∴m2+

1

n2

=(m+

1

n

)2-2m•

1

n

=(

3

2

)2-2•(-

1

2

)=

13

4

．（12分）

點評：能夠正確的理解材料的含義，并熟練地掌握根與系數的關系是解答此題的關鍵．