Question

(本小題9分)如圖，在直角坐標系xoy中，點A（2，0），點B在第一象限且△OAB為等邊三角形，△OAB的外接圓交y軸的正半軸于點C，過點C的圓的切線交x軸于點D

小題1:（1）判斷點C是否為弧OB的中點？并說明理由；
小題2:（2）求B、C兩點的坐標；
小題3:（3）求直線CD的函數解析式；
小題4:（4）點P在線段OB上，且滿足四邊形OPCD是等腰梯形，求點P坐標.

Answer 1

小題1:解：（1）C為弧OB的中點
聯結AC
∵OC⊥OA   ∴AC為圓的直徑     --------------------------------------1分
∴∠ABC=90°
∵△OAB為等邊三角形
∴∠ABO=∠AOB=∠BAO=60°
∵∠ACB=∠AOB=60°
∴∠COB=∠OBC=30°
∴弧OC=弧BC         -----------------------2分
即C為弧OB的中點
小題2:（2）過點B作BE⊥OA于E
∵A（2，0）   ∴OA=2
∴OE=1，BE= 
∴點B的坐標是（1，）
∵C為弧OB的中點，CD是圓的切線，AC為圓的直徑
∴AC⊥CD，AC⊥OB   ∴∠CAO=∠OCD=30°∴
∴C(0,)   
小題3:（3）在△COD中，∠ COD=90°，
∴OD=     ∴D(-,0)          
∴直線CD的解析式為：
小題4:（4）∵四邊形OPCD是等腰梯形
∴∠CDO=∠DCP=60°  
∴∠OCP=∠COB =30°
∴PC="PO             "
過點P 作PF⊥OC于F, 則OF=OC=,
∴ PF=                            
∴ 點P的坐標為：（，）

略