Question

【題目】如圖，在梯形ABCD中，AD//BC，E是BC的中點，AD="5" cm，BC="12" cm，CD=cm，∠C=45°，點P從B點出發，沿著BC方向以1cm/s運動，到達點C停止，設P運動了ts．

（1）當t為何值時以點P、A、D、E為頂點的四邊形為直角梯形；

（2）當t為何值時以點P、A、D、E為頂點的四邊形為平行四邊形；

（3）點P在BC邊上運動的過程中，以P、A、D、E為頂點的四邊形能否構成菱形？如能，請求出t值，如不能請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）t=3s，t=8s；（2）t=1s，t=11s；（3）能，t=11s.

【解析】

（1）分AP⊥BC與DP⊥BC兩種情況，求出BP的長度，然后根據時間=路程÷速度進行計算求解；
（2）根據平行四邊形對邊平行且相等，分點P在點E的左邊與右邊兩種情況，PE=AD=5，然后求出BP的長度，再根據路程、時間、速度的關系求解；
（3）根據菱形是平行四邊形，對（2）中的兩種情況求出DE與PD的長度，如果等于AD的長度5，則是菱形，否則不是．

解：（1）如圖1，過點A作AM⊥BC，DN⊥BC，垂足分別為M、N，當點P運動到M、N時為直角梯形，

∵CD=cm，∠C=45°，

∴NC=4cm，

∵AD=5cm，

∴MN=AD=5cm，

①點P運動到M處時，AP⊥BC，BP=BM=BC-NC-MN=12-4-5=3cm，

∵點P的運動速度是1cm/s，

∴t=3÷1=3s；

②當點P運動到點N處時，DP⊥BC，

BP=BC-CN=12-4=8，

∴t=8÷1=8s；

（2）如圖2，①當點P在點E的左邊，AD=PE時，四邊形APED是平行四邊形，

∵E是BC的中點，BC=12cm，
∴BE=BC=6cm，
∵AD=5cm，
∴BP=BE-PE=6-5=1cm，
∴t=1÷1=1s；
②當點P在點E的右邊，PE=AD時，四邊形AEPD是平行四邊形，
∵E是BC的中點，BC=12cm，
∴EC=BC=6cm，
∵AD=5cm，
∴PC=EC-PE=6-5=1cm，
∴BP=BC-PC=12-1=11cm，
∴t=11÷1=11s；

（3）能是菱形．
如圖3，過點D作DN⊥BC，垂足為N，若為菱形，必須是平行四邊形，所以在（2）中兩種情形中，

四邊形APED是平行四邊形時，
∵CD=cm，∠C=45°，
∴DN=4，EN=EC-CN=6-4=2，
∴DE=cm，
∵AD=5cm，
∴AD≠DE，
∴平行四邊形APED不是菱形；
②四邊形AEPD是平行四邊形時，

DN=4cm，PC=1cm，
∴PN=NC-PC=4-1=3cm，
∴DP=cm，
∵AD=DP=5cm，
∴平行四邊形AEPD是菱形；
綜上所述，當t=11s時是菱形．