Question

【題目】如圖，在中，，是邊上的中點，是邊上任意一點，且．若點關于直線的對稱點恰好落在的中位線上，則__________．

Answer 1

【答案】或

【解析】

取BC、AB的中點H、G，連接MH、HG、MG．分三種情形：①如圖1中，當點C′落在MH上時；②如圖2中，當點C′落在GH上時；③如圖3中，當點C′落在直線GM上時，分別求解即可解決問題.

∵

∴AB=20,

取BC、AB的中點H、G，連接MH、HG、MG．
如圖1中，當點C′落在MH上時，設NC=NC′=x，

∵MH是△ABC的中位線，

∴MC=MC′=8，MH=10，

∴ HC′=10-8=2，HN=6-x，
在Rt△HNC′中，∵HN2=HC′2+NC′2，
∴（6-x）2=x2+22，
解得x=．
如圖2中，當點C′落在GH上時，設NC=NC′=x，

在Rt△GMC′中，MG=CH=6，MC=MC′=8，
∴GC′=，
∵∠NHC'=∠C'GM=90°，∠NC'M=90°，
∴∠HNC'+∠HC'N=∠GC'M+∠HC'N=90°，
∴∠HNC'=∠CGC'M，
∴△HNC′∽△GC′M，
∴，
∴，
∴．
如圖3中，當點C′落在直線GM上時，易證四邊形MCNC′是正方形，可得CN=CM=8．

∴C'M＞GM，
此時點C′在中位線GM的延長線上，不符合題意．
綜上所述，滿足條件的線段CN的長為或．
故答案為：或．