Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx+3的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（1，0），B（3，0），交y軸于點(diǎn)C，頂點(diǎn)是D．

（1）求拋物線的表達(dá)式和頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）在x軸上取點(diǎn)F，在拋物線上取點(diǎn)E，使以點(diǎn)C、D、E、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（3）將此拋物線沿著過點(diǎn)（0，2）且垂直于y軸的直線翻折，E為所得新拋物線x軸上方一動(dòng)點(diǎn)，過E作x軸的垂線，交x軸于G，交直線l：y=-x-1于點(diǎn)F，以EF為直徑作圓在直線l上截得弦MN，求弦MN長(zhǎng)度的最大值．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的表達(dá)式為：y=x2-4x+3；D（2，-1）；（2）點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2+，2）或（2-，2）或（2+，4）或（2-，4）；（3）MN的最大值為．

【解析】

（1）利用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式；

（2）分當(dāng)CD為平行四邊形的對(duì)角線、平行四邊形的一條邊，兩種情況求解即可；

（3）則新拋物線的表達(dá)式為：y=-（x-2）2+5=-x2+4x+1．設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（x，-x2+4x+1），則點(diǎn)F（x，-x-1），所以EF=-x2+4x+1-（-x-1）=-x2+x+2．設(shè)直線y=-x-1與x軸交于點(diǎn)Q．通過銳角三角函數(shù)定義得到MN=EFcos∠QFG=（-x2+x+2），利用配方法求得該函數(shù)值的最大值．

解：（1）∵拋物線y=ax2+bx+3的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（1，0），B（3，0），

∴．

解得．

拋物線的表達(dá)式為：y=x2-4x+3；

（2）如圖1，當(dāng)CD為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，

設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（x，x2-4x+3），

則CD中點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，1），該點(diǎn)也為EF的中點(diǎn)．

即：x2-4x+3=2×1，解得：x=2±，

E的坐標(biāo)為（2+，2）或（2-，2）；

2，當(dāng)CD為平行四邊形的一條邊時(shí)，

設(shè)點(diǎn)F坐標(biāo)為（m，0），

點(diǎn)D向左平移2個(gè)單位、向上平移4個(gè)單位，得到點(diǎn)C，

同樣點(diǎn)F向左平移2個(gè)單位、向上平移4個(gè)單位，得到點(diǎn)E（m-2，4），

將點(diǎn)E坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式并解得：m=4±，

則點(diǎn)E（2+，4）或（2-，4）；

故點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2+，2）或（2-，2）或（2+，4）或（2-，4）；

（3）拋物線沿著過點(diǎn)（0，2）且垂直與y軸的直線翻折后，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，5），

則新拋物線的表達(dá)式為：y=-（x-2）2+5=-x2+4x+1．

設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（x，-x2+4x+1），則點(diǎn)F（x，-x-1），

EF=-x2+4x+1-（-x-1）=-x2+x+2．

設(shè)直線y=-x-1與x軸交于點(diǎn)Q．

MN=EFcos∠QFG=（-x2+x+2）=-（x-）2+．

由二次函數(shù)性質(zhì)可知，MN的最大值為．