Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，PB與⊙O相切于點B，連接PA交⊙O于點C，連接BC．

（1）求證：∠BAC=∠CBP；

（2）求證：PB2=PCPA；

（3）當AC=6，CP=3時，求sin∠PAB的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）．

【解析】試題（1）根據已知條件得到∠ACB=∠ABP=90°，根據余角的性質即可得到結論；

（2）根據相似三角形的判定和性質即可得到結論；

（3）根據三角函數的定義即可得到結論．

試題解析：（1）∵AB是⊙O的直徑，PB與⊙O相切于點B，∴∠ACB=∠ABP=90°，∴∠A+∠ABC=∠ABC+∠CBP=90°，∴∠BAC=∠CBP；

（2）∵∠PCB=∠ABP=90°，∠P=∠P，∴△ABP∽△BCP，∴，∴PB2=PCPA；

（3）∵PB2=PCPA，AC=6，CP=3，∴PB2=9×3=27，∴PB=，∴sin∠PAB==．