Question

如圖，拋物線交軸于兩點（的左側），交軸于點，頂點為。

（1）求點的坐標；
（2）求四邊形的面積；
（3）拋物線上是否存在點，使得，若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由。

Answer 1

(1) A（-1，0）；B（3，0）；C（0，3）；(2)9；(3)存在這樣的點P，P點的坐標為（，）或（，）.

試題分析：（1）在拋物線的解析式中，令x=0可以求出點C的坐標，令x=0可以求出A、B點的坐標．
（2）過D作DE⊥AB，垂足為E，則四邊形ABDC的面積就是：
（3）根據條件判定△BCD是直角三角形，再依據求出.設P點坐標為（m，-m²+2m+3），分兩種情況討論：（1）當P點在x 軸上方時，（2）當P點在x軸下方時，解直角三角形即可求出m的值，從而確定點P的坐標.
試題解析：（1）當x=0時，y=-x²+2x+3=3；
當y=0時，0=-x²
解得：x₁=-1、x₂=3；
故A（-1，0）；B（3，0）；C（0，3）．
（2）
∴D點坐標為（1，4）
過點D作DE⊥x軸于E

∴OE=1，DE=4
∴BE=OB-OE=2
∵,，
∴
(3)假設存在這樣的點P
過點C作CF⊥DE于F

∴CF=1，DF=1
∴∠DCF=45°,CD=
∵OC=3=OB,
∴∠CBO=45°,BC=
∵CF∥x軸
∴∠FCB=∠CBO=45°，
∴∠DCB=90°
在Rt△BCD中，
∴
設P點坐標為（m，-m²+2m+3），
過點P作PM⊥AB于M
當P點在x軸上方時，PM=-m²+2m+3，BM=3-m
在Rt△PBM中，,即
∴或（舍去）
∴P點坐標為（，）
當P點在x軸下方時，PM=-m²-2m-3，BM=3-m
在Rt△PBM中，,即
∴或（舍去）
∴P點坐標為（，）
綜上，存在這樣的點P，P點的坐標為（，）或（，）
考點: 二次函數綜合題.