Question

操作與探究
探索：在如圖1至圖3中，△ABC的面積為a．
（1）如圖1，延長△ABC的邊BC到點D，使CD=BC，連接DA、若△ACD的面積為S₁，則S₁=______（用含a的代數式表示）；
（2）如圖2，延長△ABC的邊BC到點D，延長邊CA到點E，使CD=BC，AE=CA，連接DE、若△DEC的面積為S₂，則S₂=______（用含a的代數式表示）；
（3）在圖2的基礎上延長AB到點F，使BF=AB，連接FD，FE，得到△DEF（如圖3）、若陰影部分的面積為S₃，則S₃=______（用含a的代數式表示）．
發現：像上面那樣，將△ABC各邊均順次延長一倍，連接所得端點，得到△DEF（如圖3），此時，我們稱△ABC向外擴展了一次、可以發現，擴展一次后得到的△DEF的面積是原來△ABC面積的______倍．

Answer 1

解：（1）∵CD=BC，△ABC的面積為a，△ABC與△ACD的高相等，
∴S₁=S_△ABC=a；
（2）分別過A、E作AG⊥BD，EF⊥BD，G、F為垂足，則AG∥EF，
∵A為CE的中點，∴AG=EF，
∵BC=CD，
∴S₂=2S₁=2a；
（3）∵△BDF的邊長BD是△ABC邊長BC的2倍，兩三角形的兩邊互為另一三角形兩邊的延長線，
∴S_△BDF=2S_△ABC，
∵△ABC面積為a，∴S_△BDF=2a．
同理可得，S_△ECD=2a，S_△AEF=2a，∴S₃=S_△BDF+S_△ECD+S_△AEF=2a+2a+2a=6a．
∵S₃=S_△BDF+S_△ECD+S_△AEF=6a，
∴S_△EDF=S₃+S_△ABC=6a+a=7a，
∴==7，
∴擴展一次后得到的△DEF的面積是原來△ABC面積的7倍．
分析：（1）根據等底等高的三角形面積相等解答即可；
（2）分別過A、E作BD的垂線，根據三角形中位線定理及三角形的面積公式求解即可；
（3）由△BFD、△ECD及△AEF的邊長為△ABC邊長的一半，高與△AEF的高相等解答即可．
點評：本題比較復雜，只要根據三角形的面積公式進行分析即可．