Question

【題目】如圖，的直徑，點為的延長線上一點，直線切于點，過點作，垂足為交于點，連接 ．

（1）求證：平分；

（2）求的長；

（3）是上的一動點，交于點，連接．是否存在點，使得？如果存在，請證明你的結論，并求的長；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）存在，；證明見解析；（3）．

【解析】

（1）連接OD易證OD∥BH，則∠ODB＝∠DBH，然后根據等邊對等角證明∠ODB＝∠OBD，即可得證；

（2）證明四邊形ODHG是矩形，得出OD＝GH＝5，DH＝OG＝4，BH＝BG+GH＝8，證明△POD∽△PBH，得出，即可得出答案；

（3）當點E為AB弧的中點時，△ADE∽△FDB；則，由圓周角定理得出∠ADE＝∠EDB，∠AED＝∠ABD，證出△ADE∽△FDB，由弧長公式求出弧AE的長即可．

（1）證明：連接OD． 如圖1所示：

∵PD是⊙O的切線，

∴OD⊥PD．

又∵BH⊥PD，

∴∠PDO＝∠PHB＝90°，

∴OD∥BH，

∴∠ODB＝∠DBH．

∵OD＝OB，

∴∠ODB＝∠OBD，

∴∠OBD＝∠DBH，

∴BD平分∠ABH．

（2）解：過點O作OG⊥BC，G為垂足，如圖2所示：

則BG＝CG＝BC＝3，

在Rt△OBG中，OG＝＝4．

∵∠ODH＝∠DHG＝∠HGO＝90°，

∴四邊形ODHG是矩形．

∴OD＝GH＝5，DH＝OG＝4，BH＝BG+GH＝3+5＝8．

∵OD∥BH，

∴△POD∽△PBH，

∴，即，

解得：PA＝；

（3）解：存在，當點E為AB弧的中點時，△ADE∽△FDB，理由如下：

連接OE，如圖3所示：

∵E是的中點，

∴，

∴∠AOE＝∠BOE＝90°，∠ADE＝∠EDB，

又∵∠AED＝∠ABD，

∴△ADE∽△FDB，

的長．