Question

【題目】如圖，△ABC是等邊三角形，點D是線段AC上的一動點，E在BC的延長線上，且BD＝DE．

（1）如圖1，若點D為線段AC的中點，求證：AD＝CE；

（2）如圖2，若點D為線段AC上任意一點，試確定線段AD與CE的大小關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）AD＝CE，理由詳見解析．

【解析】

（1）根據等邊三角形三線合一的性質即可求得∠DBC的度數，再根據BD＝DE可求得∠E的度數，進而可求得∠CDE的度數，于是可判斷CD與CE的關系，進一步即可得出結論；

（2）作DF∥AB，利用AAS可證△BDF≌△EDC，得BF＝CE，再證AD＝BF即可，而易證△DCF是等邊三角形，所以CF=CD，再根據CA=CB，問題即得解決．

解：（1）∵△ABC是等邊三角形，點D為線段AC的中點，

∴BD平分∠ABC，∠ABC＝∠ACB＝60°，∴∠DBE＝30°，

∵BD＝DE，∴∠E＝∠DBE＝30°，

∵∠DCE＝180°﹣∠ACB＝120°，

∴∠CDE＝180°﹣120°﹣30°＝30°，即∠E＝∠CDE，

∴CD=CE，

∴AD＝CE；

（2）作DF∥AB交BC于點F，如圖2，

∵DF∥AB，∴∠DFC＝∠ABC=60°，∠FDC＝∠A=60°，

∴△DCF是等邊三角形，

∴CF=CD，∵CA=CB，∴BF＝AD，

∵∠DFC＝60°，∴∠BFD＝120°，

∵∠ACB=60°，∴∠ACE=120°，

∴∠BFD=∠ECD，

∵BD＝DE，∴∠E＝∠DBE，

在△BDF和△EDC中，，

∴△BDF≌△EDC（AAS），

∴BF＝CE，

∴AD＝CE．