Question

【題目】已知二次函數y1＝mx2﹣nx﹣m+n（m＞0）．

（Ⅰ）求證：該函數圖象與x軸必有交點；

（Ⅱ）若m﹣n＝3，

（ⅰ）當﹣m≤x＜1時，二次函數的最大值小于0，求m的取值范圍；

（ⅱ）點A（p，q）為函數y2＝|mx2﹣nx﹣m+n|圖象上的動點，當﹣4＜p＜﹣1時，點A在直線y＝﹣x+4的上方，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析; （Ⅱ）（ⅰ）；（ⅱ）或

【解析】

（Ⅰ）利用一元二次方程根的情況判斷拋物線與x軸的交點情況；

（Ⅱ）（ⅰ）根據已知條件得到拋物線解析式為：＝mx2﹣（m﹣3）x﹣3．由此求得拋物線與x軸的交點坐標，然后根據拋物線的增減性求得m的取值范圍；

（ⅱ）根據二次函數圖象與不等式間的轉化關系解答．

（Ⅰ）∵△＝（﹣n）2﹣4m（﹣m+n）＝（n﹣2m）2≥0，

∴該函數圖象與x軸必有交點；

（Ⅱ）（ⅰ）∵m﹣n＝3，

∴n＝m﹣3．

∴

＝mx2﹣（m﹣3）x﹣3．

當y1＝0時，mx2﹣（m﹣3）x﹣3＝0，

解得x1＝1，

∴二次函數圖象與x軸交點為（1，0）和（ ，0）

∵當﹣m≤x＜1時，二次函數的最大值小于0，

∴

又∵m＞0，

∴；

（ⅱ），m﹣n＝3，

∴當或x＞1時，y2＝mx2﹣（m﹣3）x﹣3，

當時，y2＝﹣mx2+（m﹣3）x+3．

∵當﹣4＜p＜﹣1時，點A在直線y＝﹣x+4上方，

∴當，即m＞3時，有m×（﹣1）2﹣（m﹣3）×（﹣1）﹣3≥﹣（﹣1）+4，

解得．

當，即m時，有﹣m×（﹣1）2+（m﹣3）×（﹣1）+3≥﹣（﹣1）+4

且﹣m×（﹣4）2+（m﹣3）×（﹣4）+3≥﹣（﹣4）+4，

∴．

又∵m＞0

∴．

綜上，或．