Question

（2013•天橋區一模）如圖，已知△ABC中，AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm．如果點P由B出發沿BA向點A勻速運動，同時點Q由A出發沿AC向點C勻速運動，它們的速度均為2cm/s．連接PQ，設運動的時間為t（單位：s）（0≤t≤4）．
（1）當t為何值時，PQ∥BC．
（2）設△AQP的面積為S（單位：cm²），當t為何值時，S取得最大值，并求出最大值．
（3）是否存在某時刻t，使線段PQ恰好把△ABC的面積平分？若存在，求出此時t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）證△APQ∽△ABC，推出

AP

AB

=

AQ

AC

，代入得出

10-2t

10

=

2t

8

，求出方程的解即可
（2）求出∠C=90°，過P作PD⊥AC于D，證△APD∽△ABC，代入得出方程

10-2t

10

=

PD

6

，求出PD=

3

5

（10-2t），根據三角形的面積公式求出即可；
（3）假設存在某時刻t，使線段PQ恰好把△ABC的面積平分，得出方程-

6

5

t²+6t=

1

2

×

1

2

×8×6，求出此方程無解，即可得出答案．

解答：解：（1）由題意知：BP=2t，AP=10-2t，AQ=2t，
∵PQ∥BC，
∴△APQ∽△ABC，
∴

AP

AB

=

AQ

AC

，
∴

10-2t

10

=

2t

8

，
t=

20

9

，
即當t為

20

9

s時，PQ∥BC；

（2）∵AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm，
∴AB²=AC²+BC²，
∴∠C=90°，
過P作PD⊥AC于D，
則PD∥BC，
∴△APD∽△ABC，
∴

AP

AB

=

PD

BC

，
∴

10-2t

10

=

PD

6

，
PD=

3

5

（10-2t），
∴S=

1

2

AQ•PD=

1

2

•2t•

3

5

（10-2t）=-

6

5

t²+6t=-

6

5

（t-

5

2

）²+7.5，
∵-

6

5

＜0，開口向下，有最大值，
當t=

5

2

秒時，S的最大值是7.5cm²．

（3）假設存在某時刻t，使線段PQ恰好把△ABC的面積平分，
則S_△APQ=

1

2

S_△ABC
即-

6

5

t²+6t=

1

2

×

1

2

×8×6
t²-5t+10=0，
∵△=5²-4×1×10=-15＜0，
∴此方程無解，
即不存在某時刻t，使線段PQ恰好把△ABC的面積平分．

點評：本題考查了三角形的面積，二次函數的最值，勾股定理的逆定理，相似三角形的性質和判定的應用，主要考查學生綜合運用進行推理和計算的能力．