Question

如圖，已知在△ABC中，a、b、c分別是∠A、∠B、∠C的對邊，且a、b是關于x的一元二次方程x²+4（c+2）=（c+4）x的兩個根，點D在AB上，以BD為直徑的⊙O切AC于點E，
（1）求證：△ABC是直角三角形；
（2）若tanA=

3

4

，求AE的長．

Answer 1

分析：（1）將一元二次方程整理為一般形式，由兩根關系定理得a+b=c+4，ab=4（c+2），根據a²+b²=（a+b）²-2ab，將兩根關系的式子代入得出a²+b²=c²，根據勾股定理的逆定理判斷；
（2）連接OE，在Rt△ABC中，由tanA=

BC

AC

=

3

4

，設BC=a=3x，則AC=b=4x，由勾股定理得AB=c=5x，代入a+b=c+4中求x，由OE⊥AC，BC⊥AC，可證△AOE∽△ABC，設BO=OE=r，由相似得

OE

BC

=

OA

AB

=

AE

AC

，先求r，再求AE．

解答：（1）證明：由已知，得x²-（c+4）x+4（c+2）=0，
由兩根關系定理得a+b=c+4，ab=4（c+2），
∴a²+b²=（a+b）²-2ab=（c+4）²-8（c+2）=c²，
∴△ABC是直角三角形；

（2）解：連接OE，設BO=OE=r，
∵⊙O切AC于點E，
∴OE⊥AC，
在Rt△ABC中，由tanA=

BC

AC

=

3

4

，設BC=a=3x，則AC=b=4x，
則AB=c=5x，代入a+b=c+4中，得
3x+4x=5x+4，
解得x=2，
∴a=3x=6，b=4x=8，c=5x=10，
∵OE⊥AC，BC⊥AC，
∴OE∥BC，
∴△AOE∽△ABC，
∴

OE

BC

=

OA

AB

=

AE

AC

，
即

r

6

=

10-r

10

=

AE

8

，
解得r=

15

4

，AE=5．

點評：本題屬于壓軸題，綜合考查了一元二次方程的兩根關系，勾股定理逆定理的運用，切線的性質，相似三角形及解直角三角形的知識，關鍵是根據題意，找到解題的突破口．