Question

如圖，菱形ABCD中，AB＝2，∠B＝120°，點M是AD的中點，點P由點A出發，沿A→B→C→D作勻速運動，到達點D停止，則△APM的面積y與點P經過的路程x之間的函數關系的圖象大致是（ ）


A                    B                    C                    D

Answer 1

A

解析試題分析：分類討論：當0≤x≤2，如圖1，作PH⊥AD于H，AP=x，根據菱形的性質得∠A=60°，AM=2，則∠APH=30°，根據含30度的直角三角形三邊的關系得到在RtAH=x，PH=x，然后根據三角形面積公式得y=AM•PH=x；當2＜x≤4，如圖2，作BE⊥AD于E，AP+BP=x，根據菱形的性質得∠A=60°，AM=2，AB=2，BC∥AD，則∠ABE=30°，在Rt△ABE中，根據含30度的直角三角形三邊的關系得AE=1，PH=，然后根據三角形面積公式得y=AM•BE=；
當4＜x≤6，如圖3，作PF⊥AD于F，AB+BC+PC=x，則PD=6﹣x，根據菱形的性質得∠ADC=120°，則∠DPF=30°，在Rt△DPF中，根據含30度的直角三角形三邊的關系得DF=（6﹣x），PF=DF=（6﹣x），則利用三角形面積公式得y=AM•PF=﹣x+3，最后根據三個解析式和對應的取值范圍對各選項進行判斷．
解：當點P在AB上運動時，即0≤x≤2，如圖1，
作PH⊥AD于H，AP=x，
∵菱形ABCD中，AB=2，∠B=120°，點M是AD的中點，
∴∠A=60°，AM=2，
∴∠APH=30°，
在Rt△APH中，AH=AP=x，
PH=AH=x，
∴y=AM•PH=•2•x=x；
當點P在BC上運動時，即2＜x≤4，如圖2，
作BE⊥AD于E，AP+BP=x，
∵四邊形ABCD為菱形，∠B=120°，
∴∠A=60°，AM=2，AB=2，BC∥AD，
∴∠ABE=30°，
在Rt△ABE中，AE=AB=1，
PH=AE=，
∴y=AM•BE=•2•=；
當點P在CD上運動時，即4＜x≤6，如圖3，
作PF⊥AD于F，AB+BC+PC=x，則PD=6﹣x，
∵菱形ABCD中，∠B=120°，
∴∠ADC=120°，
∴∠DPF=30°，
在Rt△DPF中，DF=DP=（6﹣x），
PF=DF=（6﹣x），
∴y=AM•PF=•2•（6﹣x）=（6﹣x）=﹣x+3，
∴△APM的面積y與點P經過的路程x之間的函數關系的圖象為三段：當0≤x≤2，圖象為線段，滿足解析式y=x；當2≤x≤4，圖象為平行于x軸的線段，且到x軸的距離為；當4≤x≤6，圖象為線段，且滿足解析式y=﹣x+3．
故選A．



考點：動點問題的函數圖象