Question

【題目】如圖1，和均為等腰三角形，且，連接，，兩條線段所在的直線交于點.

（1）線段與有何數量關系和位置關系，請說明理由.

（2）若已知，，繞點順時針旋轉，

①如圖2，當點恰好落在的延長線上時，求的長；

②在旋轉一周的過程中，設的面積為，求的最值.

Answer 1

【答案】（1），與互相垂直（2）①②47、72

【解析】

（1）證明，根據全等三角形的性質進行求解即可.

（2）①求出，根據勾股定理求出，證明，根據相似三角形的性質即可求出.

②由可知點在以為直徑的圓的一段弧上，且當與以為半徑相切時，點在其運動路徑所在弧的兩個端點處，到的距離最小，此時的面積最小, 當點與點重合時，到的距離最大，此時的面積最大,求解即可.

（1），與互相垂直；

證明：∵等腰，等腰，

∴，

∴

∴

∴， ，

∵

∴，即與互相垂直

（2）①∵，

∴，

中， ，

由（1）同理可知，

∴

∴，即，解得

②由可知點在以為直徑的圓的一段弧上，且當與以為半徑相切時，點在其運動路徑所在弧的兩個端點處，到的距離最小，此時的面積最小,如圖1、2，易知四邊形是邊長為5的正方形.

∴， ，

∴,

當點與點重合時，到的距離最大，此時的面積最大，如圖3

.