Question

【題目】如圖，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為a的正方形，點(diǎn)G，E分別是邊AB，BC的中點(diǎn)，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分線CF于點(diǎn)F．
（1）證明：∠BAE=∠FEC；
（2）證明：△AGE≌△ECF；
（3）求△AEF的面積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵∠AEF=90°，

∴∠FEC+∠AEB=90°；

在Rt△ABE中，∠AEB+∠BAE=90°，

∴∠BAE=∠FEC

（2）證明：∵G，E分別是正方形ABCD的邊AB，BC的中點(diǎn)，

∴AG=GB=BE=EC，且∠AGE=180°﹣45°=135°；

又∵CF是∠DCH的平分線，

∴∠DCF=∠FCH=45°，

∠ECF=90°+45°=135°；

在△AGE和△ECF中， ；

∴△AGE≌△ECF；

（3）解：由△AGE≌△ECF，得AE=EF；

又∵∠AEF=90°，

∴△AEF是等腰直角三角形；

∵AB=a，E為BC中點(diǎn)，

∴BE= BC= AB= a，

根據(jù)勾股定理得：AE= = a，

∴S△AEF= a2．

【解析】（1）由于∠AEF是直角，則∠BAE和∠FEC同為∠AEB的余角，由此得證；（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)，易證得AG=EC，∠AGE=∠ECF=135°；再加（1）得出的相等角，可由ASA判定兩個(gè)三角形全等；（3）在Rt△ABE中，根據(jù)勾股定理易求得AE2；由（2）的全等三角形知：AE=EF，即△AEF是等腰Rt△，因此其面積為AE2的一半，由此得解．