Question

（2012•寧波一模）在正方形ABCD中，O是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)沿A→B→C→D的路線勻速運(yùn)動(dòng)，移動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)停止．
（1）如圖1，若正方形的邊長為12，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度為2單位長度/秒，設(shè)t秒時(shí)，正方形ABCD與∠POD重疊部分的面積為y．
①求當(dāng)t=4，8，14時(shí)，y的值．
②求y關(guān)于t的函數(shù)解析式．
（2）如圖2，若點(diǎn)Q從D出發(fā)沿D→C→B→A的路線勻速運(yùn)動(dòng)，移動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)停止．P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P的速度大于點(diǎn)Q的速度．設(shè)t秒時(shí)，正方形ABCD與∠POQ（包括邊緣及內(nèi)部）重疊部分的面積為S，S與t的函數(shù)圖象如圖3所示．
①P，Q兩點(diǎn)在第

4

秒相遇；正方形ABCD的邊長是

4

②點(diǎn)P的速度為

2

單位長度/秒；點(diǎn)Q的速度為

1

單位長度/秒．
③當(dāng)t為何值時(shí)，重疊部分面積S等于9？

Answer 1

分析：（1）①由于正方形ABCD的邊長為12，點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)沿A→B→C→D的路線勻速運(yùn)動(dòng)，且運(yùn)動(dòng)速度為2單位長度/秒，所以首先確定t=4，8，14時(shí)P點(diǎn)所在的位置，然后根據(jù)重疊部分的形狀，運(yùn)用相應(yīng)的面積公式即可求出對應(yīng)的y值；
②由于點(diǎn)P在每一條邊上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為6秒，所以分三種情況進(jìn)行討論：（Ⅰ）當(dāng)0≤t≤6，即點(diǎn)P在邊AB上時(shí)；（Ⅱ）當(dāng)6＜t≤12，即點(diǎn)P在邊BC上時(shí)；（Ⅲ）當(dāng)12＜t≤18，即點(diǎn)P在邊CD上時(shí)．針對每一種情況，都可以根據(jù)重疊部分的形狀，運(yùn)用相應(yīng)的面積公式求出對應(yīng)的y關(guān)于t的函數(shù)解析式；
（2）①由于t=0時(shí)，點(diǎn)P與A點(diǎn)重合，點(diǎn)Q與D點(diǎn)重合，此時(shí)S=16=S_{正方形ABCD}，所以得出正方形的邊長=4；又因?yàn)镾=0，P，Q兩點(diǎn)相遇，而此時(shí)對應(yīng)的t=4，所以P，Q兩點(diǎn)在第4秒相遇；
②由于S與t的函數(shù)圖象由5段組成，而只有當(dāng)P，Q相遇于C點(diǎn)時(shí)圖象分為5段，其余情況圖象分為6段，所以P，Q相遇于C點(diǎn)，根據(jù)時(shí)間相同時(shí)，速度之比等于路程之比得出點(diǎn)P的速度是點(diǎn)Q的速度的2倍，再由t=4時(shí)，P、Q兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程之和等于AB+BC+CD，據(jù)此列出方程，求解即可；
③設(shè)t秒時(shí)，正方形ABCD與∠POQ（包括邊緣及內(nèi)部）重疊部分的面積S等于9．由于P、Q兩點(diǎn)都在邊長為4的正方形的三邊上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P在每一條邊上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是2秒，點(diǎn)Q在每一條邊上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是4秒，所以分五種情況進(jìn)行討論：（Ⅰ）當(dāng)0≤t≤2，即點(diǎn)P在邊AB上，點(diǎn)Q在邊CD上時(shí)；（Ⅱ）當(dāng)2＜t≤4，即點(diǎn)P在邊BC上，點(diǎn)Q在邊CD上時(shí)；（Ⅲ）當(dāng)4＜t≤6，即點(diǎn)P在邊CD上，點(diǎn)Q在邊CB上時(shí)；（Ⅳ）當(dāng)6＜t≤8，即點(diǎn)P與D點(diǎn)重合，點(diǎn)Q在邊CB上時(shí)；（Ⅴ）當(dāng)8＜t≤12，即點(diǎn)P與D點(diǎn)重合，點(diǎn)Q在邊AB上時(shí)．針對每一種情況，都可以根據(jù)重疊部分的形狀，運(yùn)用相應(yīng)的面積公式求出用含t的代數(shù)式表示S的式子，然后令S=9，解方程，如果求出的t值在對應(yīng)的范圍內(nèi)，則符合題意；否則，不符合題意，舍去．

解答：解：（1）∵正方形ABCD的邊長為12，∴S_{正方形ABCD}=12²=144．
∵O是AD的中點(diǎn)，∴OA=OD=6．
①（Ⅰ）當(dāng)t=4時(shí)，如圖1①．
∵AP=2×4=8，OA=6，
∴S_△OAP=

1

2

×AP×OA=24，
∴y=S_{正方形ABCD}-S_△OAP=144-24=120；
（Ⅱ）當(dāng)t=8時(shí)，如圖1②．
∵AB+BP=2×8=16，AB=12，
∴BP=4，∴CP=12-4=8，
∴y=

1

2

（OD+CP）×CD=

1

2

×（6+8）×12=84；
（Ⅲ）當(dāng)t=14時(shí)，如圖1③．
∵AB+BC+CP=2×14=28，AB=BC=CD=12，
∴DP=12×3-28=8，
∴y=S_△ODP=

1

2

×DP×OD=24；

②分三種情況：
（Ⅰ）當(dāng)0≤t≤6時(shí)，點(diǎn)P在邊AB上，如圖1①．
∵AP=2t，OA=6，
∴S_△OAP=

1

2

×AP×6=6t，
∴y=S_{正方形ABCD}-S_△OAP=144-6t；
（Ⅱ）當(dāng)6＜t≤12時(shí)，點(diǎn)P在邊BC上，如圖1②．
∵AB+BP=2t，AB=CD=12，
∴CP=24-2t，
∴y=

1

2

（OD+CP）×CD=

1

2

×（6+24-2t）×12=180-12t；
（Ⅲ）當(dāng)12＜t≤18時(shí)，點(diǎn)P在邊CD上，如圖1③．
∵AB+BC+CP=2t，AB=BC=CD=12，
∴DP=36-2t，
∴y=S_△ODP=

1

2

×DP×OD=108-6t．
綜上可知，y=

144-6t(0≤t≤6) 180-12t(6＜t≤12) 108-6t(12＜t≤18)

；

（2）①∵t=0時(shí)，S=S_{正方形ABCD}=16，
∴正方形ABCD的邊長=4．
∵t=4時(shí)，S=0，
∴P，Q兩點(diǎn)在第4秒相遇；
②∵S與t的函數(shù)圖象由5段組成，
∴P，Q相遇于C點(diǎn)，
∵時(shí)間相同時(shí)，速度之比等于路程之比，而點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程=點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的路程的2倍，
∴點(diǎn)P的速度=點(diǎn)Q的速度的2倍．
設(shè)點(diǎn)Q的速度為a單位長度/秒，則點(diǎn)P的速度為2a單位長度/秒．
∵t=4時(shí)，P，Q相遇于C點(diǎn)，正方形ABCD的邊長為4，
∴4（a+2a）=4×3，
∴a=1．
故點(diǎn)P的速度為2單位長度/秒，點(diǎn)Q的速度為1單位長度/秒；

③∵正方形ABCD的邊長為4，∴S_{正方形ABCD}=16．
∵O是AD的中點(diǎn)，∴OA=OD=2．
設(shè)t秒時(shí)，正方形ABCD與∠POQ（包括邊緣及內(nèi)部）重疊部分的面積S等于9．
分五種情況進(jìn)行討論：
（Ⅰ）當(dāng)0≤t≤2時(shí)，點(diǎn)P在邊AB上，點(diǎn)Q在邊CD上，如圖2①．
∵AP=2t，DQ=t，OA=OD=2，
∴S=S_{正方形ABCD}-S_△OAP-S_△ODQ=16-2t-t=16-3t，
∴16-3t=9，
解得t=

7

3

（不合題意，舍去）；
（Ⅱ）當(dāng)2＜t≤4時(shí)，點(diǎn)P在邊BC上，點(diǎn)Q在邊CD上，如圖2②．
∵AB+BP=2t，AB=4，∴BP=2t-4，
∵DQ=t，OA=OD=2，
∴S=S_{正方形ABCD}-S_梯形OABP-S_△ODQ=16-

1

2

×（2t-4+2）×4-

1

2

×2t=20-5t，
∴20-5t=9，
解得t=

11

5

；
（Ⅲ）當(dāng)4＜t≤6時(shí)，點(diǎn)P在邊CD上，點(diǎn)Q在邊CB上，如圖2③．
∵AB+BC+CP=2t，AB=BC=CD=4，∴DP=12-2t，
∵DC+CQ=t，∴BQ=8-t，
∴S=S_{正方形ABCD}-S_梯形OABQ-S_△ODP=16-

1

2

×（2+8-t）×4-

1

2

×2×（12-2t）=4t-16，
∴4t-16=9，
解得t=

25

4

（不合題意，舍去）；
（Ⅳ）當(dāng)6＜t≤8時(shí)，點(diǎn)P與D點(diǎn)重合，點(diǎn)Q在邊CB上，如圖2④．
∵DC+CQ=t，DC=4，∴CQ=t-4，
∴S=S_梯形ODCQ=

1

2

×（t-4+2）×4=2t-4，
∴2t-4=9，
解得t=

13

2

；
（Ⅴ）當(dāng)8＜t≤12時(shí)，點(diǎn)P與D點(diǎn)重合，點(diǎn)Q在邊AB上，如圖2⑤．
∵DC+CB+BQ=t，DC=CB=AB=4，∴AQ=12-t，
∴S=S_{正方形ABCD}-S_△OAQ=16-

1

2

×2×（12-t）=4+t，
∴4+t=9，
解得t=5（不合題意，舍去）．
綜上可知，當(dāng)t為

11

5

或

13

2

時(shí)，重疊部分面積S等于9．
故答案為：（2）①4，4；②2，1．

點(diǎn)評：本題考查的是動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象與一次函數(shù)綜合題，綜合性很強(qiáng)，難度較大．根據(jù)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度及運(yùn)動(dòng)路線確定動(dòng)點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵，運(yùn)用分類討論的思想正確進(jìn)行分類是本題的難點(diǎn)．