Question

畫出等邊三角形BAC繞點B順時針旋轉90°后的圖形（△BA′C′），并連接AC′、CA′．
（1）直接寫出∠ABC′、∠CAC′、∠A′CB、∠CA′B的度數；
（2）利用結論（1）判斷四邊形CAC′A′的形狀，并進行證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）找出點B、C順時針旋轉90°后的對應點，然后順次連接，根據等邊三角形的每一個角都是60°可得∠ABC=60°，再根據∠ABC′=∠ABC+∠CBC′進行計算即可得解；根據等腰三角形兩底角相等求出∠BAC′，再求出∠CAC′，根據等腰三角形兩底角相等求出∠A′CB、∠CA′B的度數；
（2）根據度數求出∠CAC′+∠ACA′=180°，然后利用同旁內角互補，兩直線平行求出A′C∥AC′，再根據旋轉只改變圖形的位置不改變圖形的形狀與大小求出AC=A′C′，從而求出四邊形CAC'A'是等腰梯形．
解答：（1）解：作圖如圖所示；
∵△BAC是等邊三角形，
∴∠ABC=60°，
∴∠ABC′=∠ABC+∠CBC′=60°+90°=150°，
在△ABC′中，AB=BC′，
∴∠BAC′=（180°-150°）=15°，
∴∠CAC′=∠BAC-∠BAC′=60°-15°=45°；
在△A′BC中，BC=BA′，∠A′BC=∠CBC′-∠C′BA′=90°-60°=30°，
∴∠A′CB=∠CA′B=（180°-30°）=75°；

（2）四邊形CAC′A′是等腰梯形．
證明：∵∠ACA′=∠ACB+∠A′CB=60°+75°=135°，
∴∠CAC′+∠ACA′=45°+135°=180°，
∴A′C∥AC′，
又∵△BA′C′是△BAC繞點B順時針旋轉90°得到，
∴AC=A′C′，
∴四邊形CAC′A′是等腰梯形．
故答案為：∠ABC′=150°，∠CAC′=45°，∠A′CB=75°，∠CA′B=75°．
點評：本題考查了利用旋轉變換作圖，等腰三角形的性質，等邊三角形的性質，等腰梯形的判定，熟練掌握各圖形的性質是解題的關鍵．