Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，點E、F分別是BC、CD的中點，DE交AF于點M，點N為DE的中點．
（1）若AB=4，求△DNF的周長及sin∠DAF的值；
（2）求證：2ADNF=DEDM．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵點E、F分別是BC、CD的中點，

∴EC=DF= ×4=2，

由勾股定理得，DE= =2 ，

∵點F是CD的中點，點N為DE的中點，

∴DN= DE= ×2 = ，

NF= EC= ×2=1，

∴△DNF的周長=1+ +2=3+ ；

在Rt△ADF中，由勾股定理得，AF= = =2 ，

所以，sin∠DAF= = =

（2）證明：在△ADF和△DCE中，

，

∴△ADF≌△DCE（SAS），

∴AF=DE，∠DAF=∠CDE，

∵∠DAF+∠AFD=90°，

∴∠CDE+∠AFD=90°，

∴AF⊥DE，

∵點N、F分別是DE、CD的中點，

∴NF是△CDE的中位線，

∴DF=EC=2NF，

∵cos∠DAF= ，

cos∠CDE= ，

∴ ，

∴2ADNF=DEDM．

【解析】（1）根據線段中點定義求出EC=DF=2，再利用勾股定理列式求出DE，然后三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半求出NF，再求出DN，再根據三角形的周長的定義列式計算即可得解；利用勾股定理列式求出AF，再根據銳角的正弦等于對邊比斜邊列式計算即可得解；（2）利用“邊角邊”證明△ADF和△DCE全等，根據全等三角形對應邊相等可得AF=DE，全等三角形對應角相等可得∠DAF=∠CDE，再求出AF⊥DE，然后根據三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得DF=EC=2NF，然后根據∠DAF和∠CDE的余弦列式整理即可得證．
【考點精析】認真審題，首先需要了解正方形的性質(正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形)，還要掌握相似三角形的判定與性質(相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方)的相關知識才是答題的關鍵．