Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，點C在⊙O 上，點P是直徑AB上的一點，（不與A，B重合），過點P作AB的垂線交BC的延長線于點Q．

（1）點D在線段PQ上，且DQ=DC．求證：CD是⊙O的切線；

（2）若sin∠Q= ，BP=6，AP=2，求QC的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】試題分析：

（1）連接OC，由DC=DQ可得∠Q=∠DCQ，由OC=OB可得∠OCB=∠OBC，由PQ⊥AB于點P可得∠QPB=90°，從而可得∠Q+∠OBC=90°，即可得到∠DCQ+∠OCB=90°，從而可得∠OCD=90°，即可由此得到CD是⊙O的切線；

（2）由BP=6，∠QPB=90°，sin∠Q=易得BQ=10，由BP=6，AP=2易得AB=8，連接AC，易證△ABC∽△QBP，由相似三角形對應邊成比例即可求得BC的長，再由BQ-BC即可求得QC的長了.

試題解析：

（1）如圖，連結OC．

∵DQ=DC，

∴∠Q=∠QCD．

∵OC=OB，

∴∠B=∠OCB．

∵QP⊥BP，

∴∠QPB=90° ，即∠B+∠Q=90°，

∴∠QCD+∠OCB=90°，

∴∠OCD=90°，

∴CD⊥OC，即CD是⊙O的切線；

（2）如圖，連結AC，

∵BP=6，AP=2，

∴AB=8，

∵在Rt△BQP中，sinQ=，

∴BQ=10，

連接AC，

∵AB是是⊙O的直徑，

∴∠ACB=∠QPB=90°，

又∵∠B=∠B，

∴△ABC∽△QBP，

∴，即，

∴BC=，

∴CQ=BQ-BC=.