Question

【題目】如圖，⊙O是ABC的外接圓，AB是圓的直徑，直線AC與過B點的切線相交于點D，E是BD的中點，連接CE.

（1）求證：CE是圓O的切線；

（2）如圖，CF⊥AB，垂足為F，若⊙O的半徑為3，BE=4,求CF的長.

Answer 1

【答案】（1）見解析 （2）

【解析】

（1）根據圓周角定理由AB為⊙的直徑得∠ACB=90°，根據直角三角形斜邊上的中線性質結合等邊對等角，所以有∠1+∠2=∠3+∠4，證得OC⊥CE，然后根據切線的判定定理得CE是⊙O的切線；
（2）在Rt△ABD中，根據勾股定理計算出AD，再證明Rt△ABC∽Rt△ADB，利用相似比計算出AC，然后證明△ACF∽△ADB，利用相似比可計算得出結論.

（1）連接OC，

∵AB為⊙O的直徑，且BD是⊙O的切線，

∴∠ACB=∠BCD=∠ABD=90°，

∵CE為斜邊BD上的中線，

∴CE=BE=DE，

∴∠2=∠3，

∵OB=OC，

∴∠1=∠4

∴∠1+∠2=∠3+∠4，即∠OCE=∠OBE=90°，

∴OC⊥CE，

∴CE是⊙O的切線；

（2）∵BE=4，半徑為3，

∴BD=2BE=8，AB=6，

在Rt△ABD中，

∴，

∵∠ACB=∠ABD=90°，

∴Rt△ABC∽Rt△ADB，

∴，即，

∴，

∵CF⊥AB，

∴∠AFC=∠ABD=90°，

∴CF∥BD ，

∴△ACF∽△ADB，

∴，即

∴.