Question

【題目】如圖，的頂點坐標分別為，，，把沿直線翻折，點的對應點為，拋物線經過點，頂點在直線上．

證明四邊形是菱形，并求點的坐標；

求拋物線的對稱軸和函數表達式；

在拋物線上是否存在點，使得與的面積相等？若存在，直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析，點的坐標是；（2）對稱軸為直線，拋物線的函數表達式為；存在．理由見解析.

【解析】

（1）根據兩點之間的距離公式，勾股定理，翻折的性質可得，根據菱形的判定和性質可得點的坐標；

（2）根據對稱軸公式可得拋物線的對稱軸，設的坐標為，直線的解析式為，根據待定系數法可求的坐標，再根據待定系數法求出拋物線的函數表達式；

（3）分點在的上面和點在的下面兩種情況，根據等底等高的三角形面積相等可求點的坐標.

證明：∵，，，

∴，，

∴，

由翻折可得，，，

∴，

∴四邊形是菱形，

∴，

∵，

∴點的坐標是；

∵，

∴對稱軸為直線．

設的坐標為，直線的解析式為，

∴，

解得．

∴．

∵點在直線上，

∴．

又∵拋物線經過點和，

∴，

解得．

∴拋物線的函數表達式為；

存在．

理由如下：由題意可知，在拋物線上，且到，所在直線距離相等，所以在二次函數與、所在的直線的夾角平分線的交點上，而、所在的直線的夾角平分線有兩條：一條是所在的直線，解析式為，另外一條是過且與平行的直線，解析式為，

聯立，

解得：（舍）或，

聯立，

解得：（舍）或

所以當與的面積相等，點的坐標為，．